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UNITAU Verão Medicina 1ª Fase 2017
Sejam as matrizes A = (aij)6x4, tal que aij = i - j e B = (bij)4x5, tal que com bij = j - i. Seja matriz C dada pelo produto das matrizes A por B. O elemento c42 da matriz C é
a
4
b
8
c
6
d
12
e
2
Ver resposta
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Resposta
E
Resolução
Para obter o elemento \(c_{42}\) da matriz produto \(C=A\cdot B\), basta aplicar a regra da multiplicação de matrizes:
\[c_{42}=\sum_{k=1}^{4} a_{4k}\, b_{k2}.\]
Como \(A=(a_{ij})_{6\times4}\) com \(a_{ij}=i-j\), temos:
- \(a_{41}=4-1=3\)
- \(a_{42}=4-2=2\)
- \(a_{43}=4-3=1\)
- \(a_{44}=4-4=0\)
- \(b_{12}=2-1=1\)
- \(b_{22}=2-2=0\)
- \(b_{32}=2-3=-1\)
- \(b_{42}=2-4=-2\)
- \(k=1:\; 3\cdot1 = 3\)
- \(k=2:\; 2\cdot0 = 0\)
- \(k=3:\; 1\cdot(-1) = -1\)
- \(k=4:\; 0\cdot(-2) = 0\)
Dicas
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Escreva explicitamente a linha 4 de A e a coluna 2 de B.
Lembre que b_{ij}=j-i; cuidado com sinais.
Depois de multiplicar termo a termo, some mantendo os sinais.
Erros Comuns
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Somar apenas os elementos da linha 4 de A sem considerar B.
Trocar coluna por linha na matriz B.
Esquecer sinais negativos em b_{k2}.
Usar índice até 5 em vez de parar no 4 (dimensão incorreta).
Revisão
Conceitos-chave
- Matriz Produto: para matrizes compatíveis \(A_{m\times n}\) e \(B_{n\times p}\), o elemento \(c_{ij}\) da matriz \(C=AB\) é \(c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}.\)
- Construção de termos: quando a fórmula fornece \(a_{ij}\) (ou \(b_{ij}\)) basta substituir os índices \(i\) (linha) e \(j\) (coluna) apropriados.
- Soma de produtos: cada entrada do produto é obtida multiplicando pares correspondentes da linha de \(A\) pela coluna de \(B\) e somando os resultados.
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