EMESCAM 2009/1

1. Domínios individuais

• f(x)=\(\sqrt{x^2-9}\)  ⇒ x²-9 ≥ 0 → |x|≥3 → \((-\infty,-3]\cup[3,\infty)\).
• g(x)=\(\dfrac1{\sqrt{4-x^2}}\)  ⇒ 4−x²>0 → |x|<2 → \((-2,2)\).
• h(x)=\(\dfrac1{\sqrt{x^2+x-20}}\)  ⇒ x²+x−20>0.
    Raízes: (x+5)(x−4)=0 → x=-5 ou x=4.
    Sinal: fora do intervalo entre as raízes → \((-\infty,-5)\cup(4,\infty)\).

2. União dos domínios
Juntando os três conjuntos:
\[ (-\infty,-3]\;\cup\;(-2,2)\;\cup\;[3,\infty). \] Observações importantes:

• o ponto x=-3 pertence ao domínio (fechado); x=-2 e x=2 não pertencem (abertos); x=3 pertence.
• há “buracos” em (-3,-2) e (2,3).

3. Gráfico de y=x com as restrições encontradas
A reta y=x deve aparecer apenas nos intervalos onde o domínio é válido:

1. Reta completa para x≤-3, incluindo o ponto (-3,-3).
2. Segmento entre -2<x<2, com extremos (-2,-2) e (2,2) abertos.
3. Reta completa para x≥3, incluindo o ponto (3,3).

Esse desenho tem dois círculos fechados (em -3 e 3) e dois abertos (em -2 e 2), deixando lacunas nos trechos (-3,-2) e (2,3).
4. Comparação com os esboços apresentados
A alternativa A é a única que:

• mostra a reta y=x à esquerda até -3 (círculo fechado em -3) e “buraco” aberto em -2;
• apresenta o segmento interno (-2,2) sem os extremos;
• exibe “buraco” aberto em 2, lacuna (2,3) e círculo fechado em 3.

Portanto, o gráfico correto é o da alternativa A.