UFAM 2021
Sejam \(A=\left(\begin{matrix}-5/2&3/2\\\alpha&\beta\end{matrix}\right)\) e \(B=\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\) duas matrizes quadradas de ordem \(2.\) Se B é a matriz inversa de A, então o valor de α+ β é igual a:
\(-2\)
\(0\)
\(1\)
\(6\)
\(9\)
Resolução
Para que \(B\) seja a matriz inversa de \(A\), devemos ter \(A^{-1}=B\).
Dados
\[A=\begin{pmatrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\ \alpha&\beta\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\]
1. Determinante de \(A\)
Para uma matriz 2 x 2, \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), vale
\[\det(A)=ad-bc.\]
Logo
\[\det(A)=\Bigl(-\frac52\Bigr)\,\beta-\Bigl(\frac32\Bigr)\alpha.\]
2. Fórmula da inversa
\[A^{-1}=\frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.\]
Aplicando à nossa matriz:
\[A^{-1}=\frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}\beta&-\tfrac32\\-\alpha&-\tfrac52\end{pmatrix}.\]
3. Igualando a \(B\)
Como \(A^{-1}=B\), comparando as entradas correspondentes:
- \(\displaystyle\frac{\beta}{\det(A)}=2\)
- \(\displaystyle\frac{-\tfrac32}{\det(A)}=3\)
- \(\displaystyle\frac{-\alpha}{\det(A)}=4\)
- \(\displaystyle\frac{-\tfrac52}{\det(A)}=5\)
4. Encontrando o determinante
Pelo item 2:
\[\frac{-\tfrac32}{\det(A)}=3\quad\Longrightarrow\quad\det(A)=\frac{-\tfrac32}{3}=\frac{-3/2}{3}=\frac{-1}{2}.\]
5. Calculando \(\alpha\) e \(\beta\)
a) Da terceira equação:
\[-\alpha\;\big/\;(-\tfrac12)=4\;\Longrightarrow\;\alpha\cdot2=4\;\Longrightarrow\;\boxed{\alpha=2}.\]
b) Da primeira equação:
\[\beta\;\big/\;(-\tfrac12)=2\;\Longrightarrow\;\beta\cdot(-2)=2\;\Longrightarrow\;\boxed{\beta=-1}.\]
6. Somando
\[\alpha+\beta=2+(-1)=\boxed{1}.\]
A alternativa correta é a C.
Dicas
Erros Comuns
- Determinante de matriz 2 x 2: \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\).
- Matriz inversa 2 x 2: \(A^{-1}=\dfrac1{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) quando \(\det(A)\neq0\).
- Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes são iguais.
