EFOMM 2019
Sejam a circunferência \(C_1\) com centro em A e raio \(1,\) e a circunferência \(C_2\) que passa por A, com centro em B e raio \(2. \)
Sabendo-se que D é o ponto médio do segmento AB, E é um dos pontos de interseção entre \(C_1\ e\ C_2,\) e F é a interseção da reta ED com a circunferência \(C_2,\) o valor da área do triângulo AEF, em unidades de área, é
\(2+\frac{\sqrt{15}}{8}\)
\(1+\frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(\frac{3\sqrt{15}}{8}\)
\(\frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(\frac{5\sqrt{15}}{8}\)
Resolução
Vamos adotar um sistema cartesiano para facilitar os cálculos.
1. Posicionamento conveniente dos elementos
- Ponhamos o ponto \(A\) na origem: \(A(0,0)\).
- Sabemos que \(\overline{AB}=2\) (raio de \(C_2\)). Colocamos então \(B\) no eixo x, em \(B(2,0)\).
- Logo, o ponto médio \(D\) de \(\overline{AB}\) é \(D(1,0)\).
2. Interseção das circunferências (ponto \(E\))
As equações das circunferências são
\[C_1:\;x^2+y^2=1 \qquad\text{e}\qquad C_2:\;(x-2)^2+y^2=4.\]
Subtraindo a primeira da segunda:
\[(x-2)^2-x^2=3\;\Longrightarrow\;-4x+4=3\;\Longrightarrow\;x=\tfrac14.\]
Em \(C_1\): \(\bigl(\tfrac14\bigr)^2+y^2=1\Rightarrow y^2=\tfrac{15}{16}\Rightarrow y=\pm\tfrac{\sqrt{15}}4.\)
Escolhemos o ponto com ordenada positiva:
\[E\Bigl(\tfrac14,\tfrac{\sqrt{15}}4\Bigr).\]
3. Reta \(ED\) e segundo ponto com \(C_2\) (ponto \(F\))
O vetor diretor de \(\overline{ED}\) é
\[\vec v=D-E=\Bigl(1-\tfrac14,0-\tfrac{\sqrt{15}}4\Bigr)=\Bigl(\tfrac34,-\tfrac{\sqrt{15}}4\Bigr).\]
Equação paramétrica da reta:
\[\begin{cases} x=\tfrac14+\tfrac34t\\[2pt] y=\tfrac{\sqrt{15}}4\,(1-t) \end{cases}\qquad(t\in\mathbb R).\]
Como \(E\) pertence a \(C_2\), a reta cortará \(C_2\) novamente em \(F\). Substituindo a parametrização em \(C_2\):
\[(x-2)^2+y^2=4\;\Longrightarrow\;(-7+3t)^2+15(1-t)^2=64.\]
Simplificando:
\[24t^2-72t+64=64\;\Longrightarrow\;24t(t-3)=0\;\Longrightarrow\;t=0\;(\text{ponto }E)\;\text{ou}\;t=3.\]
Logo,
\[F=E+3\vec v\Rightarrow \begin{cases} x_F=\tfrac14+3\cdot\tfrac34=\tfrac{5}{2},\\[4pt] y_F=\tfrac{\sqrt{15}}4\,(1-3)=-\tfrac{\sqrt{15}}2. \end{cases}\]
4. Área do triângulo \(\triangle AEF\)
Utilizaremos a fórmula do determinante:
\[A=\tfrac12\left|x_A(y_E-y_F)+x_E(y_F-y_A)+x_F(y_A-y_E)\right|.\]
Com \(A(0,0)\), \(E(\tfrac14,\tfrac{\sqrt{15}}4)\) e \(F(\tfrac52,-\tfrac{\sqrt{15}}2)\):
\[\begin{aligned} A&=\tfrac12\Bigl|\;0+\tfrac14\Bigl(-\tfrac{\sqrt{15}}2\Bigr)+\tfrac52\Bigl(-\tfrac{\sqrt{15}}4\Bigr)\Bigr|\\[4pt] &=\tfrac12\Bigl|\,-\tfrac{\sqrt{15}}8-\tfrac{5\sqrt{15}}8\Bigr|=\tfrac12\cdot\tfrac{6\sqrt{15}}8=\boxed{\tfrac{3\sqrt{15}}8}.\]
Dicas
Erros Comuns
Interseção de circunferências. A diferença das equações reduz o sistema a uma reta vertical ou horizontal, permitindo achar rapidamente uma coordenada comum.
Parametrização de reta. Dados dois pontos, o vetor diretor \(\vec v=P_2-P_1\) fornece a equação paramétrica \(P(t)=P_1+t\vec v\).
Segundo ponto de interseção. Quando uma reta passa por um ponto de uma circunferência, a substituição da parametrização gera uma equação quadrática cujo outro zero dá o segundo ponto de interseção.
Área pelo determinante. Com vértices \((x_i,y_i)\), \(A=\tfrac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|\).
