UniCesumar Medicina 2016
Sejam A, B, C, D, E, F, G e H vértices de um octógono regular. Se, ao serem traçadas todas as diagonais desse octógono, escolher-se aleatoriamente uma delas, a probabilidade de que ela não passe pelo seu centro é de:
80%
75%
70%
65%
60%
Resolução
Para um polígono convexo de n lados, o número total de diagonais é dado por
\[d=\frac{n\,(n-3)}{2}.\]
Em um octógono regular (n = 8):
\[d=\frac{8\,(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=20\text{ diagonais}.\]
Diagonais que passam pelo centro de um polígono regular são exatamente aquelas que unem vértices opostos. Como cada vértice tem exatamente um oposto e dois vértices determinam a mesma diagonal, temos
\[\frac{8}{2}=4\text{ diagonais centrais}.\]
Logo, diagonais que não passam pelo centro:
\[20-4=16.\]
Probabilidade desejada:
\[P=\frac{16}{20}=\frac45=0{,}8=80\%.\]
Resposta: 80 % (opção A).
Dicas
Erros Comuns
- Diagonais de um polígono convexo: \(d=\frac{n(n-3)}{2}\).
- Vértices opostos em polígonos regulares com número par de lados estão separados por \(\frac{n}{2}\) vértices; a diagonal que os liga passa pelo centro.
- Probabilidade clássica: \(P=\dfrac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}\).
