Petróleo Brasileiro S.A 2018
Seja (Y1, Y2, Y3) uma amostra aleatória simples extraída de modo independente de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\), ambas desconhecidas. Considere os dois estimadores da média da população definidos abaixo:
\(\hat \mu_1=\) \(\frac{Y_1+2Y_2+3Y_3}{6}\) e \(\hat \mu_2=\)\(\frac{Y_1+Y_2+Y_3}{3}\)
Relativamente a esses dois estimadores, conclui-se que
apenas o primeiro estimador é não tendencioso.
apenas o segundo estimador é não tendencioso.
os dois estimadores são não tendenciosos, mas a eficiência não pode ser determinada sem a estimação da variância \(\sigma^2\).
os dois estimadores são não tendenciosos, mas o primeiro é mais eficiente por apresentar a variância inferior à do segundo estimador.
os dois estimadores são não tendenciosos, mas o segundo é mais eficiente por apresentar a variância inferior à do primeiro estimador.
Resolução
Para determinar se um estimador é não tendencioso, precisamos que a esperança matemática do estimador seja igual ao parâmetro que está sendo estimado, neste caso, a média \(\mu\) da população. Calculando a esperança matemática dos dois estimadores:
Para \(\hat \mu_1\), temos \(E(\hat \mu_1) = E\left(\frac{Y_1+2Y_2+3Y_3}{6}\right) = \frac{E(Y_1)+2E(Y_2)+3E(Y_3)}{6} = \frac{3\mu}{6} = \frac{\mu}{2}\), que não é igual a \(\mu\), logo, é tendencioso.
Para \(\hat \mu_2\), temos \(E(\hat \mu_2) = E\left(\frac{Y_1+Y_2+Y_3}{3}\right) = \frac{E(Y_1)+E(Y_2)+E(Y_3)}{3} = \mu\), que é igual a \(\mu\), logo, é não tendencioso.
A eficiência de um estimador está relacionada com a sua variância; quanto menor a variância, mais eficiente é o estimador. Como a distribuição das variáveis é simétrica e cada valor tem a mesma contribuição para a média, o estimador que dá pesos iguais para cada variável (no caso, \(\hat \mu_2\)) terá uma variância menor e, portanto, será mais eficiente.
Dicas
Relembre a definição de um estimador não tendencioso e aplique-a aos estimadores propostos.
Considere o peso dado a cada variável no cálculo de cada estimador.
Pense sobre como a variância é afetada pela maneira como os valores são combinados nos estimadores.
Erros Comuns
Confundir o conceito de não tendenciosidade com eficiência do estimador.
Acreditar que a presença de coeficientes nos termos do estimador não afeta a sua tendenciosidade.
Não reconhecer que a ponderação igual das variáveis resulta em uma variância menor e maior eficiência.
Estimadores: São funções das variáveis aleatórias que são utilizadas para estimar parâmetros desconhecidos de uma população.
Não Tendencioso: Um estimador é dito não tendencioso quando a esperança matemática do estimador é igual ao parâmetro que ele estima.
Eficiência: Está relacionada com a variância do estimador; um estimador é mais eficiente se possui menor variância.
