UPF Inverno 2016

Queremos descobrir qual expressão assume sempre um valor real positivo quando \(a\) pertence ao intervalo aberto \(\left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\).

1. Sinais das funções trigonométricas no intervalo \(\left(\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right)\)

• Ângulos entre \(\dfrac{\pi}{2}\) e \(\pi\) estão no 2º quadrante.
• Nesse quadrante: \(\sin a > 0\), \(\cos a < 0\) e \(\tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} < 0\).

2. Análise de cada alternativa

Vamos calcular o sinal de cada expressão usando os sinais acima.

1. \(\cos a - \sin a\)
   \(\cos a\) é negativo e \(\sin a\) é positivo ⇒ soma de um número negativo com o negativo de um positivo:
   \(\cos a - \sin a < 0\). Não é positivo.
2. \(\sin a \cdot \tan a\)
   \(\sin a > 0\) e \(\tan a < 0\) ⇒ produto positivo × negativo = negativo. Não serve.
3. \(\cos a \cdot \sin a\)
   Positivo × negativo = negativo. Descartado.
4. \(\sin a - \tan a\)
   Sabemos que \(\tan a < 0\). Então \[\sin a - \tan a = \sin a - (\text{número negativo}) = \sin a + |\tan a| > 0.\] Essa diferença é sempre positiva porque somamos dois valores positivos.
5. \(\cos a + \tan a\)
   \(\cos a < 0\) e \(\tan a < 0\) ⇒ soma de dois negativos = negativo. Descartado.

3. Confirmação algébrica da alternativa D

Podemos reescrever a expressão:

• \(\sin a > 0\).
• \(\cos a < 0\) ⇒ denominador < 0.
• \(\cos a - 1 < 0\) (pois \(\cos a\le 0\)).

Multiplicando: positivo × negativo ÷ negativo ⇒ resultado positivo.

4. Resposta

A única expressão que representa um número real positivo nesse intervalo é a da alternativa D.