ESPM 2012/2

Sabemos que

$$a_1=\sqrt{5}\text{e}{a}_{n+1}=\sqrt{a_n}(n\ge 1).$$

1. Determinando a forma geral de $a_n$

Tomemos potências de 5 para enxergar o padrão:

• $a_1=5^{1/2}$
• $a_2=\sqrt{a_1}=\sqrt{5^{1/2}}=5^{1/4}$
• $a_3=\sqrt{a_2}=\sqrt{5^{1/4}}=5^{1/8}$
• $a_4=5^{1/16}$

Logo, para todo $n\ge 1$

$$a_n=5^{1/2^n}.$$

2. Produto infinito

O produto pedido é

$$P=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{5}^{1/2^n}.$$

Pela propriedade de potências $(b^x)(b^y)=b^{x+y}$, temos

$$P=5^{\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}}.$$

3. Soma da série geométrica

A soma infinita de uma PG de razão $\frac{1}{2}$ iniciada em $\frac{1}{2}$ é

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$

4. Valor do produto

Substituindo:

$$P=5^1=5.$$

Portanto, o produto dos infinitos termos da sequência vale 5.