ITA 2016
Seja p o polinômio dado por p(x) = x8 + xm − 2xn , em que os expoentes 8, m, n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as seguintes afirmações:
I. x = 0 é uma raiz dupla de p.
II. x = 1 é uma raiz dupla de p.
III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é (são) verdadeira(s)
apenas I.
apenas I e II.
apenas I e III.
apenas II e III.
I, II e III.
Resolução
Primeiro determinamos os expoentes m e n. Como 8, m, n formam uma PG, temos
m = 8r e n = 8r2, onde r é a razão.
Soma: 8 + 8r + 8r2 = 14 → 4r2 + 4r - 3 = 0.
\[r = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{8} \Rightarrow r_1 = \tfrac12,\; r_2 = -\tfrac32.\]
A solução r = -\tfrac32 gera m=–12 (expoente negativo) e, portanto, não é aceitável para um polinômio. Assim:
\[m = 4, \quad n = 2.\]
Logo
\[p(x)=x^8+x^4-2x^2.\]
Análise das afirmações
I) x = 0
p(0) = 0, portanto é raiz. Derivando:
p'(x)=8x^7+4x^3-4x \;\Rightarrow\; p'(0)=0.
Derivada de 2ª ordem: p''(x)=56x^6+12x^2-4 \Rightarrow p''(0)=-4\neq0.
Logo, multiplicidade 2 (raiz dupla). Afirmativa I é verdadeira.
II) x = 1
p(1)=1+1-2=0 (raiz). Porém p'(1)=8+4-4=8\neq0 → multiplicidade 1. Portanto, II é falsa.
III) Parte imaginária não nula
Fatorando:
\[p(x)=x^2\bigl(x^6+x^2-2\bigr)=x^2(x-1)(x+1)(x^4+x^2+2).\]
O quarteto x^4+x^2+2 não tem raízes reais: substituindo y=x^2 temos y^2+y+2=0 (\(\Delta=-7<0\)).
Portanto restam 4 raízes complexas conjugadas (parte imaginária ≠ 0). Afirmativa III é verdadeira.
Conclusão: verdadeiras apenas I e III → alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Progressão geométrica (PG): três termos 8, m, n satisfazem m=8r e n=8r².
- Soma de termos da PG.
- Polinômio: expoentes devem ser inteiros não negativos.
- Raiz múltipla: p(a)=0 e p'(a)=0; multiplicidade é o menor k tal que p(k)(a)≠0.
- Fatoração pelo Teorema do Resto e substituição y=x² para quartícas biquadradas.
- Raízes complexas vêm em pares conjugados quando coeficientes são reais.
