EN 2020

Passo 1 – Localizar o ponto D

Como \(CD\) é a bissetriz do ângulo \(\widehat{ACB}\), o Teorema da Bissetriz em \(\triangle ABC\) garante

\[\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}.\]

Sabemos que

• \(AB=8\sqrt2\)
• \(BC=6\sqrt2\)
• \(AC=\sqrt{(8\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=\sqrt{128+72}=10\sqrt2\).

Seja \(DB=r\). Então

\[AD=\frac{AC}{BC}\,DB=\frac{10\sqrt2}{6\sqrt2}\,r=\frac{5}{3}r.\]

Como \(AD+DB=AB\Rightarrow\frac{5}{3}r+r=8\sqrt2\Rightarrow\frac{8}{3}r=8\sqrt2\Rightarrow r=3\sqrt2.\]

Logo

\[BD=3\sqrt2\qquad\Longrightarrow\qquad R=BD=3\sqrt2.\]

Passo 2 – Ponto D é o centro da circunferência

A circunferência tem centro em \(D\) e raio \(R=3\sqrt2\). Como \(C, D, E, F\) são colineares (a bissetriz passa pelo centro), \(E\) e \(F\) são extremos de um diâmetro.

\[EF=2R=6\sqrt2.\]

Passo 3 – Calcular \(CE\)

No alinhamento \(C\! -\! E\! -\! D\! -\! F\) temos \(DE=R\). Logo

\[CE=CD-DE=CD-R.\]

Para achar \(CD\) basta aplicar Pitágoras no triângulo retângulo de catetos \(BD=3\sqrt2\) e \(BC=6\sqrt2\):

\[CD=\sqrt{(3\sqrt2)^2+(6\sqrt2)^2}=\sqrt{18+72}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.\]

Portanto

\[CE=3\sqrt{10}-3\sqrt2=3(\sqrt{10}-\sqrt2).\]

Passo 4 – Razão pedida

\[x=\frac{EF}{CE}=\frac{6\sqrt2}{3(\sqrt{10}-\sqrt2)}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{10}-\sqrt2}.\]

Racionalizando:

\[x=\frac{2\sqrt2(\sqrt{10}+\sqrt2)}{10-2}=\frac{\sqrt2(\sqrt{10}+\sqrt2)}{4}=\frac{2\sqrt5+2}{4}=\frac{\sqrt5+1}{2}\approx1{,}618.\]

Passo 5 – Intervalo

Como \(1{,}5<1{,}618\le2\), conclui-se que

\(\boxed{1{,}5

Portanto, a alternativa correta é a letra D.