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EFOMM 2019
Seja o somatório abaixo, onde i é a unidade imaginária.
\(S=\sum_{j=0}^{2020}i^j\)
Sobre o valor de S, é correto afirmar que
a
\(S=1-i\)
b
\(S=1+i\)
c
\(S=1\)
d
\(S=i\)
e
\(S=i^3\)
Ver resposta
Ver resposta
Resposta
C
Resolução
Resolução detalhada
Deseja-se calcular
\[S = \sum_{j=0}^{2020} i^{j}\]
1. Período das potências de \(i\)
As potências de \(i\) repetem-se a cada 4 termos:
\(i^{0}=1\), \(i^{1}=i\), \(i^{2}=-1\), \(i^{3}=-i\) e então \(i^{4}=1\) novamente.
2. Agrupando em blocos de 4
Cada bloco de quatro potências soma zero:
\[1+i+(-1)+(-i)=0.\]
Como \(2021=2020+1\) termos (de 0 a 2020), verificamos quantos blocos completos cabem:
\[2021 = 4\times 505 + 1.\]
- 505 blocos completos de 4 termos → somam \(505\times 0 = 0\);
- resta o primeiro termo do bloco seguinte, isto é \(i^{0}=1\).
Logo
\[S = 1.\]
3. Conferindo com a fórmula da PG
Alternativamente, usando a soma de progressão geométrica:
\[S = \frac{1-i^{2021}}{1-i}.\]
Como \(2021 \equiv 1 \pmod{4}\), vale \(i^{2021}=i\). Assim
\[S = \frac{1-i}{1-i}=1.\]
Resposta: \(\boxed{S=1}\) (opção C).
Dicas
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Lembre que \(i^{4}=1\), então as potências repetem-se de 4 em 4.
Agrupe os termos em blocos de quatro; cada bloco soma zero.
Depois de remover todos os blocos completos, verifique quantos termos restaram.
Erros Comuns
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Esquecer que a soma começa em j=0, portanto contar 2020 em vez de 2021 termos.
Não perceber que o período é 4 e tentar somar termo a termo.
Aplicar a fórmula da PG mas errar ao calcular \(i^{2021}\).
Revisão
- Potências de \(i\): \(i^{4}=1\); portanto \(i^{n}\) tem período 4.
- Soma de progressão geométrica finita: \(\sum_{k=0}^{n} q^{k}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) para \(q\neq1\).
- Módulo de congruência: para grandes expoentes, basta usar o resto da divisão por 4 (período das potências de \(i\)).
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