EEAR 2015
Seja O o centro da circunferência α: (x - 1)2 + (y - 3)2 = 9.
O ponto P(3,2) é
interior a α, estando mais próximo de α do que de O.
interior a α, estando mais próximo de O do que de α.
pertencente a α.
exterior a α.
Resolução
Seja \(O(1,3)\) o centro da circunferência \(\alpha\) e \(r\) o seu raio.
1. Determine o raio
A equação \((x-1)^2+(y-3)^2=9\) está na forma canônica \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Logo, \(r=\sqrt{9}=3\).
2. Calcule a distância de \(P\) ao centro
\[ d_{OP}=\sqrt{(3-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2{,}24. \]
3. Compare \(d_{OP}\) com o raio
- \(d_{OP}=\sqrt5\approx2{,}24<3\) → \(P\) está dentro da circunferência.
4. Distância de \(P\) à circunferência
Para um ponto interno, a distância até \(\alpha\) é \(r-d_{OP}=3-\sqrt5\approx0{,}76\).
5. Compare distâncias
\(d(P,\alpha)\approx0{,}76\) e \(d_{OP}\approx2{,}24\). Logo, \(P\) está mais próximo da circunferência do que do centro.
6. Conclusão
O ponto \(P(3,2)\) é interno a \(\alpha\) e mais próximo de \(\alpha\) do que de \(O\). Alternativa correta: A.
Dicas
Erros Comuns
Equação da circunferência: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) representa todos os pontos a distância \(r\) do centro \((a,b)\).
Distância entre dois pontos: \(d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\)
Para saber se um ponto está dentro, sobre ou fora da circunferência, compare sua distância ao centro com o raio.
