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ITA 2006
Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos 
interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda 
da circunferência intercepta o segmento 
no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale
interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda da circunferência intercepta o segmento no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
Ver resposta
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Resposta
D
Resolução
Considere o ponto externo E e as duas secantes que passam pela circunferência:
- Secante E-B-A, interceptando o círculo em B (primeiro ponto) e A (segundo ponto).
- Secante E-C-D, interceptando o círculo em C (primeiro ponto) e D (segundo ponto).
Ainda, o segmento-corda \(\overline{AF}\) encontra a secante \(\overline{ED}\) no ponto G.
1. Potência do ponto externo E
Pelo teorema da potência de um ponto para duas secantes, temos
\[ EB\cdot EA = EC\cdot ED. \]Os dados são:
- \(EB = 5\)
- \(BA = 7 \;\Rightarrow\; EA = EB + BA = 5 + 7 = 12\)
- \(EC = 4\)
Logo,
\[ 5\cdot 12 = 4\cdot ED \;\Longrightarrow\; ED = \frac{60}{4} = 15. \]2. Posicionando o ponto G na secante E-D
Sabemos que \(GD = 3\). Assim,
\[ EG = ED - GD = 15 - 3 = 12. \]Como \(EC = 4\), segue que
\[ CG = EG - EC = 12 - 4 = 8. \]3. Teorema da intersecção de cordas
Dentro do círculo, as cordas \(\overline{AF}\) e \(\overline{CD}\) cruzam-se em G. Então
\[ AG\cdot GF = CG\cdot GD. \]Com os valores dados:
- \(AG = 6\)
- \(CG = 8\)
- \(GD = 3\)
Resposta
\(GF = 4\). A alternativa correta é D.
Dicas
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Primeiro encontre ED usando a potência do ponto E.
Determine EG e depois CG pela diferença de segmentos alinhados.
Use AG·GF = CG·GD para achar GF.
Erros Comuns
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Esquecer que EA = EB + BA, usando apenas BA como segmento externo.
Aplicar erroneamente o teorema das cordas entre segmentos que não se cruzam em G.
Confundir GD com EG ao calcular os produtos.
Revisão
Conceitos-chave
- Potência de um ponto externo em relação à circunferência
Se de um ponto externo partem duas secantes \(E\!\!\)–\(B\)–\(A\) e \(E\!\!\)–\(C\)–\(D\), então \(EB\cdot EA = EC\cdot ED\). - Produto dos segmentos de cordas que se intersectam
Se duas cordas se cruzam num ponto interno \(G\), então o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra: \(AG\cdot GF = CG\cdot GD\). - Soma de segmentos colineares
Quando pontos estão alinhados, o comprimento do segmento maior é a soma dos menores contíguos (por exemplo, \(ED = EG + GD\)).
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