AFA 2020
Seja D o conjunto domínio mais amplo da função real \(f(x)=\sqrt{\frac{(x-4)(x^2-25)}{-x^2+5x-4}}\ e\ S\subset IR\) o conjunto solução da \(x+6\le x(x+6)\) inequação.
O conjunto \(D\cap S\) é
\(]-\infty,-6]\cup ]1,5]-\{4\}\)
\(]-\infty,-5]\cup]1,4[\cup]4,5]\)
\(]-\infty,-6[\cup[1,4[\cup[5,\infty[\)
\(]1,4[\cup[5,\infty[\)
Resolução
Passo 1: Determinar o domínio \(D\) da função
Considere \(f(x)=\sqrt{\frac{(x-4)(x^2-25)}{-x^2+5x-4}}\). Para estar definida, o radicando deve satisfazer \(\frac{(x-4)(x^2-25)}{-x^2+5x-4} \ge 0\) e o denominador \(-x^2+5x-4\) ≠ 0.
Numerador: \((x-4)(x-5)(x+5)\); Denominador: \(-(x-4)(x-1)\).
Fazendo a análise de sinais nos intervalos críticos \(-\infty, -5, 1, 4, 5, \infty\) e excluindo \(x=1,4\), obtém-se:
\[D = (-\infty,-5] \cup (1,4) \cup (4,5].\]
Passo 2: Resolver a inequação \(x+6 \le x(x+6)\)
Reescrevendo a expressão:
\[(x+6)(x-1)\ge 0.\]
Testando os intervalos definidos pelas raízes \(x=-6\) e \(x=1\), temos:
\[S = (-\infty,-6] \cup [1,\infty).\]
Passo 3: Interseção \(D \cap S\)
Fazendo a interseção dos conjuntos:
\[D \cap S = (-\infty,-6] \cup (1,4) \cup (4,5] = ]-\infty,-6] \cup ]1,5] -\{4\}.\]
Resposta: alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Domínio de Função Radical: Para funções do tipo \(\sqrt{g(x)}\), exige-se \(g(x)\ge0\) e, se houver fração, seu denominador não pode ser zero.
Sinal de Produtos e Frações: Para analisar \(\frac{A(x)}{B(x)}\ge0\), faz-se o estudo do sinal de \(A(x)\) e \(B(x)\) em cada intervalo definido pelas raízes de ambos, excluindo pontos onde \(B(x)=0\).
Inequações de 2º Grau Fatoradas: Expressões como \(x(x+6)-(x+6)\) podem ser fatoradas em \((x+6)(x-1)\), e a resolução requer identificar intervalos onde o produto é ≥0.
