EN 2020
Seja cos2(x - y) = sen(2x)sen(2y), para todo x e y reais, dentro do intervalo (0, π/2).
Com base nessa equação, assinale a opção que apresenta a solução de x + y.
π/2
π/4
π/3
π/6
π/8
Resolução
Partimos da equação, válida para \(x,y\in(0,\,\pi/2)\):
\[\cos^{2}(x-y)=\sen(2x)\,\sen(2y).\]
Escrevendo cada membro com identidades trigonométricas usuais:
- \(\sen(2x)=2\sen x\cos x\)
- \(\sen(2y)=2\sen y\cos y\)
- \(\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sen x\sen y\)
Logo,
\[(\cos x\cos y+\sen x\sen y)^2=4\sen x\cos x\,\sen y\cos y.\]
Como todos os senos e cossenos são positivos no 1º quadrante, podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados sem trocar o sinal:
\[\cos x\cos y+\sen x\sen y=2\sqrt{\sen x\cos x\,\sen y\cos y}.\]
Definindo \(u=\sqrt{\sen x\sen y}\) e \(v=\sqrt{\cos x\cos y}\), a igualdade vira
\[u^2+v^2=2uv\quad\Longrightarrow\quad(u-v)^2=0\quad\Longrightarrow\quad u=v.\]
Portanto,
\[\sen x\sen y=\cos x\cos y.\]
Dividindo ambos os lados por \(\cos x\cos y\,>0\):
\[\tan x\,\tan y=1.\]
No 1º quadrante, \(\tan x>0\) e \(\tan y>0\). Assim, \(\tan x=\cot y=\tan\left(\frac{\pi}{2}-y\right)\), o que implica
\[x=\frac{\pi}{2}-y.\]
Somando as variáveis:
\[x+y=\frac{\pi}{2}.\]
Logo, a alternativa correta é
A) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\).
Dicas
Erros Comuns
Identidades usadas
- Duplo ângulo: \(\sen 2\theta = 2\sen\theta\cos\theta\).
- Diferença de cossenos: \(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sen\alpha\sen\beta\).
- Relação fundamental: \(\sen^2\theta+\cos^2\theta=1\).
- Ligação entre tangente e cotangente: \(\cot\theta = \tan\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)\).
Além disso, no intervalo \((0,\pi/2)\) todos os senos, cossenos e tangentes são positivos, permitindo manipulações de raízes sem ambiguidades de sinal.
