FACERES 2017/2

Para descobrir quais afirmações são verdadeiras, analisemos uma a uma.

Afirmação I

O número 0,3333$\dots$ é periódico (o algarismo 3 se repete infinitamente). Todo decimal periódico representa uma fração de inteiros, logo pertence ao conjunto dos racionais. Em particular:

$$0,3333\dots =\frac{1}{3}$$

Portanto, I é verdadeira.

Afirmação II

O número 0,9999$\dots$ também é periódico. Multiplicando por 10 e subtraindo obtém-se:

$$x=0,9999\dots \Rightarrow 10x=9,9999\dots \Rightarrow 10x-x=9\Rightarrow 9x=9\Rightarrow x=1$$

Assim, 0,9999$\dots$ é igual a 1, que é um número natural. Logo, II é verdadeira.

Afirmação III

No conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de um número negativo. Portanto $\sqrt{-3}$ não é real, e não faz sentido elevar esse número a 2 dentro dos reais. A igualdade $(\sqrt{-3}{)}^2=-3$ não pertence aos reais. III é falsa.

Afirmação IV

A soma apresentada forma uma progressão aritmética (P.A.) com:

• primeiro termo $a_1=1,2$
• último termo $a_n=4$
• razão $r=0,2$

Número de termos:

$$n=\frac{a_n-a_1}{r}+1=\frac{4-1,2}{0,2}+1=14+1=15$$

Soma da P.A.:

$$S=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{15}{2}(1,2+4)=\frac{15}{2}(5,2)=15\times 2,6=39$$

O resultado é 39, um inteiro. Logo, IV é verdadeira.

Conclusão

São corretas as afirmações I, II e IV. A alternativa correspondente é a letra C.