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UPE 2013
Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras?
a
6!
b
2 . 6!
c
4 . 6!
d
6 . 6!
e
8!
Ver resposta
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Resposta
B
Resolução
Devemos dispor 8 pares de calçados (todos distintos) em duas fileiras de 4 posições cada.
1. Condição imposta
Os 2 pares de sandálias precisam ficar nas extremidades da primeira fileira:
- Posição 1 (extremidade esquerda)
- Posição 4 (extremidade direita)
2. Escolha da ordem das sandálias
Como as sandálias são distintas, há \(2! = 2\) maneiras de decidir qual fica à esquerda e qual fica à direita.
3. Distribuição dos 6 pares de sapato
Restam:
- 2 posições livres na primeira fileira (posições 2 e 3)
- 4 posições na segunda fileira (posições 5 a 8, por exemplo)
Ao todo, são 6 posições para 6 pares de sapato distintos. Eles podem ser arranjados livremente em \(6!\) maneiras.
4. Número total de arranjos
Pelo Princípio Fundamental da Contagem:
\[\text{Total}=2!\times6!=2\cdot6!\]Portanto, existem \(2\cdot6!\) formas de organizar os calçados.
Alternativa correta: B
Dicas
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Coloque primeiro as sandálias: há apenas duas posições disponíveis.
Quantas maneiras existem de decidir qual sandália fica à esquerda?
Depois, basta ordenar os seis pares de sapato restantes nos seis lugares restantes.
Erros Comuns
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Esquecer de contabilizar a ordem dos dois pares de sandálias (usar 6! em vez de 2·6!).
Permutar os oito pares livres (8!) sem aplicar a restrição.
Achar que há quatro posições extremas (primeira e última de cada fileira) para sandálias, em vez de duas na primeira fileira.
Revisão
- Permutação: número de maneiras de ordenar n objetos distintos é \(n!\).
- Princípio Fundamental da Contagem: se uma escolha pode ser feita de \(a\) formas e, independentemente, outra de \(b\) formas, o total é \(a\times b\).
- Restrição: ao fixar objetos em posições específicas, devemos primeiro contar as maneiras de atender à restrição e, depois, permutar o restante.
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