UNIFENAS Manhã 2017/1
Se sen( Ɵ) = 0,8 e 0 < Ɵ < 90°, então qual o valor de cos(Ɵ/2)?
\(\sqrt{1,5}.\)
\(\sqrt{1,2}.\)
\(\sqrt{0,8}.\)
\(\sqrt{0,7}.\)
\(\sqrt{0,3}.\)
Resolução
Queremos determinar \(\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\) sabendo que \(\sen\theta = 0{,}8\) e que \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) (primeiro quadrante).
1. Calcular \(\cos\theta\)
Usamos a relação pitagórica fundamental:
\[ \sen^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]
Logo
\[ \cos\theta = \sqrt{1-\sen^2\theta} = \sqrt{1-(0{,}8)^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6. \]
(Pegamos a raiz positiva pois \(\theta\) está no primeiro quadrante.)
2. Fórmula do ângulo pela metade
Para \(0 < \theta < 90^\circ\), também temos \(0 < \theta/2 < 45^\circ\), portanto \(\cos(\theta/2)\) é positivo. Usamos:
\[ \cos\left( \frac{\theta}{2} \right)=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}. \]
3. Substituir \(\cos\theta\)
\[ \cos\left( \frac{\theta}{2} \right)=\sqrt{\frac{1+0{,}6}{2}}=\sqrt{\frac{1{,}6}{2}}=\sqrt{0{,}8}. \]
4. Selecionar a alternativa
A opção que apresenta \(\sqrt{0{,}8}\) é a C.
Dicas
Erros Comuns
- Relação fundamental: \(\sen^2x + \cos^2x = 1\).
- Fórmulas de meio-ângulo: \(\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}}\) e \(\sen\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}}\). O sinal é escolhido pelo quadrante de \(x/2\).
- No primeiro quadrante, seno e cosseno são positivos.
