clear
EsPCEx 2003
Se \(S_n=1-2+3-4+...+\left(-1\right)^{n-1}.\). n, para todo n inteiro e positivo, então \(\frac{S_{2003}}{3}\) é igual a
a
668.
b
567.
c
334.
d
424.
e
223.
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Resposta
C
Tempo médio
56 s
Resolução
\[S_n = 1-2+3-4+\dots+(-1)^{n-1}n\]
1. Agrupe os termos de dois em dois, começando pelo primeiro:
\[(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots\]
Cada par vale \(-1\).
2. Distinga os casos (\(n\) par) e (\(n\) ímpar):
3. Como \(2003\) é ímpar:
\[S_{2003}=\frac{2003+1}{2}=1002\]
4. Dividindo por 3:
\[\frac{S_{2003}}{3}=\frac{1002}{3}=334\]
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
1. Agrupe os termos de dois em dois, começando pelo primeiro:
\[(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots\]
Cada par vale \(-1\).
2. Distinga os casos (\(n\) par) e (\(n\) ímpar):
- n par, \(n=2k\): existem \(k\) pares, logo \(S_n = -k = -\dfrac{n}{2}\).
- n ímpar, \(n=2k+1\): somando até \(2k\) dá \(-k\); o termo extra é \(2k+1\). Assim:
\[S_n = -k + (2k+1)=k+1 = \dfrac{n+1}{2}\]
3. Como \(2003\) é ímpar:
\[S_{2003}=\frac{2003+1}{2}=1002\]
4. Dividindo por 3:
\[\frac{S_{2003}}{3}=\frac{1002}{3}=334\]
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Dicas
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Agrupe dois termos consecutivos e calcule o valor de cada par.
Verifique se 2003 é par ou ímpar e escolha a fórmula apropriada.
Não esqueça de dividir o resultado final por 3.
Erros Comuns
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Tratar a soma como progressão aritmética simples sem alternância de sinais.
Esquecer que o último termo é positivo quando n é ímpar.
Calcular Sₙ corretamente e esquecer de dividir por 3.
Assumir que cada par vale +1, produzindo sinal trocado.
Revisão
- Séries alternadas: somas em que os sinais dos termos se alternam (+, −, +, − ...).
- Agrupamento em pares: estratégia clássica para somas alternadas; pares consecutivos frequentemente simplificam o cálculo.
- Tratamento de n par e ímpar: muitas fórmulas mudam conforme a paridade de \(n\); verifique sempre.
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