UECE 2014
Se p e q são duas soluções da equação 2sen2x – 3sen x + 1 = 0 tais que senp ≠ senq, então o valor da expressão sen2p – cos2q é igual a
0.
0,25.
0,50.
1.
Resolução
Sejam \(p\) e \(q\) dois ângulos que satisfazem
\[2\sen^{2}x-3\sen x+1=0.\]
1. Resolver a equação trigonométrica
Substituindo \(\sen x=s\), temos a equação algébrica
\[2s^{2}-3s+1=0.\]
O discriminante é \(\Delta=9-8=1\). Logo,
\[s=\frac{3\pm1}{4}\;\Longrightarrow\;s_{1}=1\quad\text{ou}\quad s_{2}=\tfrac12.\]
Assim,
- \(\sen p=1\) e \(\sen q=\tfrac12\) ou
- \(\sen p=\tfrac12\) e \(\sen q=1\).
(A condição \(\sen p\neq\sen q\) garante que usamos valores diferentes.)
2. Calcular \(\sen^{2}p-\cos^{2}q\)
Como a escolha de quem é \(p\) ou \(q\) não altera o resultado, basta analisar um dos casos.
Caso 1
\(\sen p=1\;\Rightarrow\;\sen^{2}p=1.\)
\(\sen q=\tfrac12\;\Rightarrow\;\cos^{2}q=1-\sen^{2}q=1-\tfrac14=\tfrac34.\)
Então
\[\sen^{2}p-\cos^{2}q = 1-\tfrac34 = \frac14 = 0{,}25.\]
Caso 2
Invertendo os papéis (\(\sen p=\tfrac12\) e \(\sen q=1\)):
\(\sen^{2}p=\tfrac14,\;\cos^{2}q=0\;\Rightarrow\;\sen^{2}p-\cos^{2}q=\tfrac14-0=\tfrac14.\)
Em qualquer situação, a expressão vale 0,25.
Resposta
\(\boxed{0{,}25}\)
Dicas
Erros Comuns
- Quadrática em \(\sen x\): Substituir \(\sen x=s\) transforma a equação trigonométrica em uma equação do 2º grau comum.
- Relação fundamental da trigonometria: \(\sen^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\).
- Independência do ângulo: Se só precisamos de \(\sen\theta\) (ou \(\cos\theta\) ao quadrado), não é necessário achar o valor exato do ângulo, apenas do seno/cosseno.
