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UFRGS HIST MAT 2017
Se log5 x = 2 e log10 y = 4 , então log20 \(\frac{y}{x}\) é
a
2.
b
4.
c
6.
d
8.
e
10.
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Resposta
A
Tempo médio
7 min
Resolução
Resolução passo a passo
1. A primeira informação é \(\log_{5}x = 2\).
Isso significa que:
\[x = 5^{2} = 25.\]
2. A segunda informação é \(\log_{10}y = 4\).
Logo:
\[y = 10^{4} = 10000.\]
3. O que se deseja calcular é
\[\log_{20}\left(\frac{y}{x}\right).\]
4. Substituindo os valores obtidos para \(x\) e \(y\):
\[\frac{y}{x} = \frac{10000}{25} = 400.\]
5. Assim ficamos com
\[\log_{20}(400).\]
6. Observe que \(400 = 20 \times 20 = 20^{2}.\)
7. Portanto:
\[\log_{20}(20^{2}) = 2.\]
Logo, \(\boxed{2}\).
A alternativa correta é a A.
Dicas
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Converta log₅x = 2 e log₁₀y = 4 para a forma exponencial.
Encontre primeiro o valor numérico de y/x.
Note que 400 pode ser escrito como uma potência de 20.
Erros Comuns
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Esquecer de converter logaritmo em forma exponencial, assumindo x = 2 ou y = 4.
Calcular \(y/x\) como 25/10000 em vez de 10000/25.
Não reconhecer que 400 = 20² e usar regra de mudança de base desnecessariamente, aumentando a chance de erro.
Revisão
Conceitos-chave
- Definição de logaritmo: \(\log_{b}a = c\) significa \(b^{c}=a\).
- Conversão direta: se \(\log_{b}a=c\), então \(a=b^{c}\).
- Simplificação de potência: reconhecer padrões, como \(20^{2}=400\).
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