clear
UFRGS HIS MAT 2018
Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é
a
\(\sqrt[3]{2}\)
b
\(\sqrt[]{2}\)
c
\(\sqrt[3]{3}\)
d
\(\sqrt[]{3}\)
e
\(\sqrt[3]{9}\)
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Resposta
E
Tempo médio
2 min
Resolução
Seja \(x>0\) (domínio dos logaritmos).
Começamos escrevendo todos os logaritmos na mesma base. Note que \(9=3^{2}\). Assim,
\[\log_{9}x=\log_{3^{2}}x=\frac{\log_{3}x}{\log_{3}9}=\frac{\log_{3}x}{2}.\]
Denotemos \(y=\log_{3}x\). A equação dada torna‑se
\[y+\frac{y}{2}=1.\]
Somando: \(\dfrac{3y}{2}=1\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}.\)
Voltando a \(x\):
\[x=3^{y}=3^{\frac{2}{3}}=(3^{2})^{\frac13}=9^{\frac13}=\sqrt[3]{9}.\]
Portanto, \(x=\sqrt[3]{9}.\)
Alternativa correta: E.
Dicas
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Escreva o logaritmo na base 9 em função de log na base 3.
Substitua \(\log_3x\) por uma variável para simplificar.
Depois de encontrar a variável, lembre-se de voltar para x usando potência de base 3.
Erros Comuns
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Somar os logaritmos multiplicando as bases (\(\log_3x+\log_9x=\log_{27}x\); operação inválida).
Esquecer que \(\log_{9}x\neq\dfrac{1}{2}\log_{3}x\) se a base de x for diferente.
Isolar x antes de transformar as bases, complicando os cálculos.
Revisão
- Domínio do logaritmo: o argumento deve ser positivo.
- Log em bases relacionadas: se \(b=a^{n}\), então \(\log_{b}c = \dfrac{\log_{a}c}{n}.\)
- Potências fracionárias: \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}.\)
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