ESA 2012

Sabemos que uma maneira conveniente de trabalhar com logaritmos é usar a fórmula de mudança de base:

\[ \log_{k}x = \frac{\log_{2}x}{\log_{2}k}. \]

1. Aplicando-a a \(\log_{0,5}75\):
   \[ \log_{0,5}75 = \frac{\log_{2}75}{\log_{2}0{,}5}. \]
2. Calculamos o denominador. Como \(0,5 = 2^{-1}\), então
   \[ \log_{2}0{,}5 = -1. \]
3. Assim,
   \[ \log_{0,5}75 = -\log_{2}75. \]
4. Fatoramos o 75 para usar as propriedades dos logaritmos:
   \[ 75 = 3 \times 5^{2}. \]
5. Logo,
   \[ \log_{2}75 = \log_{2}3 + \log_{2}5^{2} = \log_{2}3 + 2\,\log_{2}5. \]
6. Substituindo os valores dados no enunciado, \(\log_{2}3 = a\) e \(\log_{2}5 = b\), obtém-se
   \[ \log_{2}75 = a + 2b. \]
7. Finalmente,
   \[ \log_{0,5}75 = -\bigl(a + 2b\bigr) = -a - 2b. \]

Portanto, a alternativa correta é a letra E.