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UECE 2014
Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é
a
9.
b
11.
c
13.
d
15.
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Resposta
A
Tempo médio
2 min
Resolução
Sejam:
- \(n\) = número de lados do polígono convexo;
- \(d\) = número de diagonais.
Para qualquer polígono convexo vale a fórmula
\[d = \frac{n\,(n-3)}{2}.\]
O enunciado afirma que o número de lados é um terço do número de diagonais:
\[n = \frac{1}{3}\,d.\]
Substituindo \(d\) pela expressão acima, temos
\[n = \frac{1}{3}\,\frac{n\,(n-3)}{2}.\]
Multiplicando ambos os membros por \(3\) e simplificando:
\[3n = \frac{n\,(n-3)}{2}\quad\Longrightarrow\quad 6n = n\,(n-3).\]
Como \(n \neq 0\), podemos dividir por \(n\):
\[6 = n-3 \quad\Longrightarrow\quad n = 9.\]
Logo, o polígono tem 9 lados.
Alternativa correta: A.
Dicas
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Recorde a fórmula para o número de diagonais de um polígono convexo.
Transforme a frase "n é um terço do número de diagonais" em uma equação envolvendo n.
Isolando n, você chegará a uma equação de 2º grau simples; resolva-a e verifique nas alternativas.
Erros Comuns
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Esquecer que a fórmula correta das diagonais é n(n−3)/2 e usar n(n−1)/2.
Multiplicar por 3 no lado errado da equação, chegando a 3/n = d em vez de 3n = d.
Dividir por n sem garantir que n≠0.
Revisão
Fórmulas-chave
- Diagonais de um polígono convexo: \(d = \frac{n\,(n-3)}{2}\).
- Equações algébricas: transformar a relação verbal em uma expressão matemática e resolver a equação.
Essas duas ideias são suficientes para determinar \(n\) a partir da condição dada.
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