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FAG Medicina 2015/2
Se cos x + sec (- x) = t, então, cos2 x + sec2 x é igual a:
a
1
b
t2 + 2
c
t2
d
t2 - 2
e
t2 + 1
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Resposta
D
Resolução
Seja \(c = \cos x\).
1. Observe que \(\sec(-x)=\sec x\), pois \(\cos(-x)=\cos x\).
Logo, a hipótese do enunciado fica \[ \cos x+\sec x=t \;\Longrightarrow\; c+\frac{1}{c}=t. \]
2. Precisamos de \(\cos^{2}x+\sec^{2}x\), isto é, \[ c^{2}+\frac{1}{c^{2}}. \] 3. Eleve a igualdade do passo 1 ao quadrado: \[ \left(c+\frac{1}{c}\right)^{2}=t^{2} \;\Longrightarrow\; c^{2}+2+\frac{1}{c^{2}}=t^{2}. \] 4. Reorganize para isolar \(c^{2}+\dfrac{1}{c^{2}}\): \[ c^{2}+\frac{1}{c^{2}}=t^{2}-2. \] 5. Portanto, \[ \boxed{\cos^{2}x+\sec^{2}x=t^{2}-2}. \]
1. Observe que \(\sec(-x)=\sec x\), pois \(\cos(-x)=\cos x\).
Logo, a hipótese do enunciado fica \[ \cos x+\sec x=t \;\Longrightarrow\; c+\frac{1}{c}=t. \]
2. Precisamos de \(\cos^{2}x+\sec^{2}x\), isto é, \[ c^{2}+\frac{1}{c^{2}}. \] 3. Eleve a igualdade do passo 1 ao quadrado: \[ \left(c+\frac{1}{c}\right)^{2}=t^{2} \;\Longrightarrow\; c^{2}+2+\frac{1}{c^{2}}=t^{2}. \] 4. Reorganize para isolar \(c^{2}+\dfrac{1}{c^{2}}\): \[ c^{2}+\frac{1}{c^{2}}=t^{2}-2. \] 5. Portanto, \[ \boxed{\cos^{2}x+\sec^{2}x=t^{2}-2}. \]
Dicas
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Lembre que a função secante é par: \(\sec(-x)=\sec x\).
Defina \(c=\cos x\); então \(t=c+1/c\).
Eleve \(t\) ao quadrado para isolar \(c^{2}+1/c^{2}\).
Erros Comuns
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Esquecer que \(\sec(-x)=\sec x\) e tratar o termo como negativo.
Elevar \(c+1/c\) ao quadrado mas não subtrair o 2, chegando a \(t^{2}\).
Confundir \(\sec^{2}x=1+\tan^{2}x\) e tentar usar identidade inadequada.
Revisão
• Definições: \(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\).
• Paridade: \(\cos(-x)=\cos x\;\Rightarrow\;\sec(-x)=\sec x\).
• Algebraicamente, a soma de um número e seu inverso: \(c+1/c\). Ao elevá-la ao quadrado obtém-se \(c^{2}+2+1/c^{2}\), permitindo isolar \(c^{2}+1/c^{2}\).
• Paridade: \(\cos(-x)=\cos x\;\Rightarrow\;\sec(-x)=\sec x\).
• Algebraicamente, a soma de um número e seu inverso: \(c+1/c\). Ao elevá-la ao quadrado obtém-se \(c^{2}+2+1/c^{2}\), permitindo isolar \(c^{2}+1/c^{2}\).
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