SLMANDIC Medicina 2015
Se calcularmos o valor de 295 obtemos um número natural cujo algarismo das unidades é:
2
4
5
7
8
Resolução
Para descobrir apenas o algarismo das unidades de \(2^{95}\) não é necessário calcular toda a potência. Basta investigar o padrão que os últimos algarismos das potências de 2 seguem.
1. Observe os primeiros termos
\[2^1=2\;\;(\text{unidade}=2)\]
\[2^2=4\;\;(\text{unidade}=4)\]
\[2^3=8\;\;(\text{unidade}=8)\]
\[2^4=16\;\;(\text{unidade}=6)\]
\[2^5=32\;\;(\text{unidade}=2)\]
A sequência dos algarismos das unidades é 2, 4, 8, 6 e então volta a se repetir. Logo, ela tem período 4.
2. Use aritmética modular
Para saber em que posição do ciclo o expoente 95 cai, basta calcular o resto da divisão de 95 por 4:
\[95 \div 4 = 23 \text{ (quociente)} \;\text{e}\; 3 \text{ (resto)}\]
Assim, \(95 \equiv 3 \pmod{4}\). O resto 3 indica que estamos no 3º termo do ciclo (2 → 4 → 8 → 6).
3. Conclusão
O 3º termo do ciclo é 8. Portanto, o algarismo das unidades de \(2^{95}\) é 8.
Resposta: alternativa E.
Dicas
Erros Comuns
- Ciclos de unidades em potências: Os últimos algarismos de potências de um mesmo número formam um padrão periódico.
- Período: Para a base 2, o período é 4 (2, 4, 8, 6).
- Aritmética modular: Para localizar a posição no ciclo, calcula-se o expoente módulo 4.
