FUVEST 2019
Se a função f: R - [2] → R é definida por \(f(x)=\frac{2x+1}{x-2}\) e a função g: R - [2] → R é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a
\(\frac{x}{2}\)
\(x^2\)
\(2x\)
\(2x+3\)
\(x\)
Resolução
A questão pede para determinar a expressão da função \(g(x)\), que é definida como a composição da função \(f(x)\) com ela mesma, ou seja, \(g(x) = f(f(x))\).
A função \(f(x)\) é dada por \(f(x) = \frac{2x+1}{x-2}\), com domínio \(\mathbb{R} - \{2\}\).
Para encontrar \(g(x) = f(f(x))\), substituímos \(x\) na expressão de \(f(x)\) pela própria expressão \(f(x)\):
\[ g(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{2x+1}{x-2}\right) \]Agora, aplicamos a definição de \(f\) à expressão \(\frac{2x+1}{x-2}\). Isso significa que, na fórmula \(f(y) = \frac{2y+1}{y-2}\), substituímos \(y\) por \(\frac{2x+1}{x-2}\):
\[ g(x) = \frac{2 \cdot \left(\frac{2x+1}{x-2}\right) + 1}{\left(\frac{2x+1}{x-2}\right) - 2} \]Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
\[ 2 \cdot \left(\frac{2x+1}{x-2}\right) + 1 = \frac{2(2x+1)}{x-2} + 1 \]Para somar, encontramos um denominador comum, que é \(x-2\):
\[ \frac{4x+2}{x-2} + \frac{1 \cdot (x-2)}{x-2} = \frac{4x+2 + x-2}{x-2} = \frac{5x}{x-2} \]Denominador:
\[ \left(\frac{2x+1}{x-2}\right) - 2 \]Novamente, encontramos um denominador comum, \(x-2\):
\[ \frac{2x+1}{x-2} - \frac{2 \cdot (x-2)}{x-2} = \frac{2x+1 - (2x-4)}{x-2} \]Distribua o sinal negativo:
\[ \frac{2x+1 - 2x + 4}{x-2} = \frac{5}{x-2} \]Agora, substituímos os numeradores e denominadores simplificados de volta na expressão para \(g(x)\):
\[ g(x) = \frac{\frac{5x}{x-2}}{\frac{5}{x-2}} \]Para dividir frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda:
\[ g(x) = \frac{5x}{x-2} \cdot \frac{x-2}{5} \]Assumindo que \(x \neq 2\) (o que é garantido pelo domínio da função), podemos cancelar os termos \((x-2)\) e os termos \(5\):
\[ g(x) = \frac{\cancel{5}x}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{\cancel{x-2}}{\cancel{5}} = x \]Portanto, \(g(x) = x\).
É importante verificar o domínio de \(g(x) = f(f(x))\). Para que \(f(f(x))\) esteja definida, precisamos que:
- \(x\) esteja no domínio de \(f\), ou seja, \(x \neq 2\).
- \(f(x)\) esteja no domínio de \(f\), ou seja, \(f(x) \neq 2\).
Vamos verificar a segunda condição: \(f(x) = 2\)?
\[ \frac{2x+1}{x-2} = 2 \] \[ 2x+1 = 2(x-2) \] \[ 2x+1 = 2x-4 \] \[ 1 = -4 \]Isso é uma contradição, o que significa que \(f(x)\) nunca é igual a 2. Portanto, a única restrição para o domínio de \(g(x)\) é a restrição original de \(f(x)\), que é \(x \neq 2\). Assim, o domínio de \(g\) é \(\mathbb{R} - \{2\}\), e a expressão para \(g(x)\) é \(x\) nesse domínio.
A resposta correta é \(g(x) = x\).
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
- Função: Uma regra que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a um único elemento de outro conjunto (contradomínio). A notação \(f: A \rightarrow B\) indica uma função \(f\) com domínio \(A\) e contradomínio \(B\).
- Função Racional: Uma função da forma \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\), onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são polinômios e \(Q(x) \neq 0\). O domínio de uma função racional exclui os valores de \(x\) que tornam o denominador \(Q(x)\) igual a zero. No caso, \(f(x)=\frac{2x+1}{x-2}\), o domínio é \(\mathbb{R} - \{2\}\) porque \(x-2=0\) quando \(x=2\).
- Composição de Funções: Dadas duas funções \(f\) e \(h\), a composição \(f \circ h\) é definida por \((f \circ h)(x) = f(h(x))\). Para calcular \(f(h(x))\), primeiro calcula-se \(h(x)\) e depois aplica-se a função \(f\) ao resultado. O domínio de \(f \circ h\) consiste em todos os \(x\) no domínio de \(h\) tais que \(h(x)\) está no domínio de \(f\). Na questão, \(g(x) = f(f(x))\), então \(h(x) = f(x)\).
- Simplificação de Frações Algébricas: Operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com expressões racionais seguem as mesmas regras das frações numéricas. É crucial encontrar denominadores comuns para adição/subtração e simplificar cuidadosamente, especialmente ao lidar com frações complexas (frações dentro de frações).
