clear
UFRGS HIST MAT 2016
Se 10x = 20y , atribuindo 0,3 para log 2 , então o valor de \(\frac{x}{y}\) é
a
0,3.
b
0,5.
c
0,7.
d
1.
e
1,3.
Ver resposta
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Resposta
E
Tempo médio
3 min
Resolução
Aplicamos as propriedades de potências e logaritmos.
1. Reescreva 20
\(20 = 2 \times 10\). Assim:
\[20^{y} = (2 \cdot 10)^{y}=2^{y}\,10^{y}.\]
2. Igualdade dos termos em 10
A equação dada é
\[10^{x}=20^{y}=2^{y}10^{y}.\]
Dividindo ambos os lados por \(10^{y}\):
\[10^{x-y}=2^{y}.\]
3. Tome logaritmo decimal
\[\log 10^{x-y}=\log 2^{y}\Rightarrow x-y=y\,\log 2.\]
É fornecido \(\log 2 = 0{,}3\). Logo:
\[x-y=0{,}3y\quad\Rightarrow\quad x=1{,}3y.\]
4. Cociente solicitado
\[\frac{x}{y}=1{,}3.\]
Portanto, a alternativa correta é E) 1,3.
1. Reescreva 20
\(20 = 2 \times 10\). Assim:
\[20^{y} = (2 \cdot 10)^{y}=2^{y}\,10^{y}.\]
2. Igualdade dos termos em 10
A equação dada é
\[10^{x}=20^{y}=2^{y}10^{y}.\]
Dividindo ambos os lados por \(10^{y}\):
\[10^{x-y}=2^{y}.\]
3. Tome logaritmo decimal
\[\log 10^{x-y}=\log 2^{y}\Rightarrow x-y=y\,\log 2.\]
É fornecido \(\log 2 = 0{,}3\). Logo:
\[x-y=0{,}3y\quad\Rightarrow\quad x=1{,}3y.\]
4. Cociente solicitado
\[\frac{x}{y}=1{,}3.\]
Portanto, a alternativa correta é E) 1,3.
Dicas
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Reescreva 20 como 2·10.
Iguale as potências de base 10 dividindo por 10^{y}.
Use log 2 = 0,3 para encontrar x em função de y.
Erros Comuns
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Não separar 20^{y} em 2^{y}10^{y}.
Usar logaritmo natural ou base equivocada.
Esquecer de dividir por 10^{y}, levando a equações mais complicadas.
Revisão
- Potências: \((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\).
- Logaritmo: \(\log a^{n}=n\,\log a\).
- Troca base/expoente: para igualar potências de mesma base, igualamos expoentes.
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