ITA 1996
Resolução
Desejamos a equação da reta que contém os extremos A e B de uma corda da circunferência
\[(x-1)^2 + y^2 = 4\]
Sabemos que o ponto médio da corda é \(M(2,1)\).
1. Centro da circunferência
A equação está na forma \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\). Logo:
- Centro \(C(1,0)\)
- Raio \(r = 2\)
2. Propriedade fundamental
O segmento que liga o centro de uma circunferência ao ponto médio de uma corda é perpendicular à própria corda.
Portanto, a reta \(CM\) é perpendicular à reta que contém a corda \(\overline{AB}\).
3. Inclinação da reta \(CM\)
Dados \(C(1,0)\) e \(M(2,1)\), o coeficiente angular de \(CM\) é
\[m_{CM}=\frac{1-0}{2-1}=1\]
4. Coeficiente angular da corda \(AB\)
Se duas retas são perpendiculares, seus coeficientes angulares satisfazem \(m_1\,m_2=-1\). Logo,
\[m_{AB}\cdot 1 = -1 \;\Longrightarrow\; m_{AB}=-1\]
5. Equação da reta \(AB\)
Usamos o ponto médio \(M(2,1)\) e o coeficiente \(-1\):
\[y-1 = -1\,(x-2)\]
Simplificando:
\[y-1 = -x + 2 \;\Longrightarrow\; y = -x + 3\]
6. Alternativa correta
\(y=-x+3\) corresponde à opção C.
Dicas
Erros Comuns
- Corda: segmento com extremos em dois pontos da circunferência.
- Ponto médio da corda: divide a corda em dois segmentos congruentes.
- Propriedade perpendicular: o raio que liga o centro ao ponto médio de uma corda é perpendicular à corda.
- Coeficiente angular (m): inclinação de uma reta; se duas retas são perpendiculares, seus coeficientes obedecem \(m_1m_2=-1\).
