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Prefeitura de Canto do Buriti 2023
Sabendo que a fração geratriz da dízima 1,333333... é \(\frac{a}{b}\) na sua forma irredutível, o valor de \(\left(a-b\right)^{345}\) é:
a
1
b
34
c
135
d
345
e
790
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
Seja \(x = 1,\!333333\ldots\,\). Como a parte decimal é uma dízima periódica simples (o algarismo 3 se repete), multiplicamos por 10 para deslocar a vírgula uma casa:
\(10x = 13,\!333333\ldots\)
Subtraindo as duas equações, eliminamos a dízima:
\(10x - x = 13,\!333333\ldots - 1,\!333333\ldots \;\Rightarrow\; 9x = 12\)
\(x = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\)
Portanto, a fração geratriz na forma irredutível é \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{3}\); logo \(a = 4\) e \(b = 3\).
Calculando a diferença:
\(a - b = 4 - 3 = 1\)
Por fim:
\[(a-b)^{345} = 1^{345} = 1\]
Resposta: 1.
Dicas
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Escreva x = 1,333… e multiplique por 10 para alinhar o período.
Lembre que subtrair 10x – x elimina a dízima.
Qualquer número 1 elevado a um expoente continua 1.
Erros Comuns
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Truncar a dízima em vez de usar o período infinito, gerando frações aproximadas.
Esquecer de simplificar a fração geratriz, obtendo valores de a e b que não estão na forma irredutível.
Calcular (a – b) corretamente, mas depois tentar efetuar 1^345 em calculadora e pensar haver outro resultado.
Revisão
- Dízima periódica simples: número decimal em que um ou mais algarismos se repetem indefinidamente após a vírgula, com o periödo iniciando logo após a vírgula.
- Fração geratriz: fração que representa exatamente a dízima periódica. Para dízima simples, usa-se o sistema de equações multiplicando por 10, 100, … até alinhar os periödos.
- Potenciação: qualquer número 1 elevado a uma potência n (com n > 0) resulta em 1.
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