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UNICAMP 2021
Sabendo que 0 < θ ≤ 90° e que 2 cos(2θ) + 5 cos(θ) = 4, é correto afirmar que
a
0° < θ ≤ 30°
b
30° < θ ≤ 45°
c
45° < θ ≤ 60°
d
60° < θ ≤ 90°
Ver resposta
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Resposta
B
Resolução
Para determinar o intervalo em que se encontra \(\theta\), partimos da equação
\[2\cos(2\theta)+5\cos\theta = 4.\]
1. Substitua a identidade \(\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1\):
\[2\bigl(2\cos^{2}\theta-1\bigr)+5\cos\theta = 4.\]
2. Distribua e organize:
\[4\cos^{2}\theta - 2 + 5\cos\theta = 4\;\Longrightarrow\;4\cos^{2}\theta + 5\cos\theta - 6 = 0.\]
3. Faça \(x=\cos\theta\) e resolva a equação quadrática:
\[4x^{2}+5x-6=0.\]
• Discriminante: \(\Delta = 5^{2}-4\cdot4\cdot(-6)=25+96=121.\)
• Raízes: \(x=\dfrac{-5\pm\sqrt{121}}{8}=\dfrac{-5\pm 11}{8}.\)
• Possibilidades: \(x_{1}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}=0{,}75\) e \(x_{2}=\dfrac{-16}{8}=-2\).
4. Como \(-1\le\cos\theta\le1\) e \(0<\theta\le90^{\circ}\) (1º quadrante), a única solução viável é
\[\cos\theta=\tfrac34.\]
5. Ache \(\theta\):
\[\theta=\arccos\left(\tfrac34\right)\approx41{,}4^{\circ}.\]
6. O valor está entre \(30^{\circ}\) e \(45^{\circ}\).
Portanto, a alternativa correta é a **B**.
Dicas
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Substitua \(\cos(2\theta)\) pela identidade em \(\cos\theta\).
Transforme a expressão obtida numa equação quadrática em \(\cos\theta\).
Verifique qual das raízes se encaixa em \(0<\theta\le90^{\circ}\).
Erros Comuns
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Esquecer de aplicar a identidade \(\cos(2\theta)\) corretamente.
Resolver a quadrática mas aceitar a raiz \(x=-2\), ignorando que não pertence ao intervalo de \(\cos\theta\).
Tentar resolver aproximando valores de \(\theta\) sem isolar primeiro \(\cos\theta\).
Revisão
• Identidade de ângulo duplo: \(\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1\).
• Resolução de equação quadrática: \(ax^{2}+bx+c=0\) com \(\Delta=b^{2}-4ac\).
• Intervalos no 1º quadrante: para \(0<\theta\le90^{\circ}\), temos \(\cos\theta>0\).
• Resolução de equação quadrática: \(ax^{2}+bx+c=0\) com \(\Delta=b^{2}-4ac\).
• Intervalos no 1º quadrante: para \(0<\theta\le90^{\circ}\), temos \(\cos\theta>0\).
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