UPE 2018
Quatrocentas pessoas foram entrevistadas, em uma pesquisa de opinião, sobre o consumo dos produtos A, B, e C, cujos resultados estão apresentados na tabela a seguir:
Se escolhermos ao acaso uma dentre as pessoas entrevistadas, qual é a probabilidade de ela não consumir nenhum dos três produtos?
10%
20%
25%
30%
35%
Resolução
Para determinar a probabilidade de um(a) entrevistado(a) não consumir nenhum dos produtos A, B ou C, precisamos primeiro descobrir quantas pessoas consomem ao menos um deles. Em seguida, subtraímos esse total do número de entrevistados e dividimos pelo total da amostra.
1 Dados da pesquisa
- Total de entrevistados: 400
- Número de consumidores de cada grupo (tabela):
- \(|A| = 175\)
- \(|B| = 120\)
- \(|C| = 185\)
- \(|A \cap B| = 75\)
- \(|A \cap C| = 105\)
- \(|B \cap C| = 65\)
- \(|A \cap B \cap C| = 45\)
2 Princípio da Inclusão–Exclusão (PIE)
Para conjuntos A, B e C, o número de elementos que pertencem a pelo menos um deles é dado por
\[|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|.\]
Aplicando os valores:
\[|A \cup B \cup C| = 175 + 120 + 185 - 75 - 105 - 65 + 45.\]
\[|A \cup B \cup C| = 480 - 245 + 45 = 280.\]
Logo, 280 pessoas consomem pelo menos um produto.
3 Quem não consome nenhum produto
Número de pessoas que não consomem nenhum produto:
\[400 - 280 = 120.\]
4 Probabilidade
\[P(\text{não consumir}) = \dfrac{120}{400} = 0{,}30 = 30\%.\]
Resposta: 30\% (Alternativa D)
Dicas
Erros Comuns
- Conjuntos: grupos de elementos com característica comum.
- Princípio da Inclusão–Exclusão (PIE): fórmula que corrige dupla e tripla contagens ao somar elementos de vários conjuntos.
- Probabilidade clássica: \(P = \dfrac{n(\text{casos favoráveis})}{n(\text{casos possíveis})}\).
