URCA 2017/2

Observe que a soma apresentada é de uma progressão aritmética (PA):

• Termo inicial \(a_1 = 5\)
• Razão \(r = 2\) (pois \(7-5 = 2,\;9-7 = 2,\) etc.)

Em uma PA, a soma dos \(n\) primeiros termos é dada por

\[ S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n-1)r\bigr). \]

Substituindo \(a_1 = 5\) e \(r = 2\):

\[ S_n = \frac{n}{2}\,\bigl(2\cdot5 + (n-1)\cdot2\bigr) = \frac{n}{2}\,(10 + 2n - 2) = \frac{n}{2}\,(2n + 8) = n(n + 4). \]

Queremos \(S_n = 2700\). Logo:

\[ n(n+4) = 2700. \]

Transformando em equação do 2º grau:

\[ n^2 + 4n - 2700 = 0. \]

Cálculo do discriminante \(\Delta\):

\[ \Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-2700) = 16 + 10800 = 10816. \]

\(\sqrt{\Delta} = 104\) (pois \(104^2 = 10816\)). Portanto,

\[ n = \frac{-4 \pm 104}{2} \Rightarrow n = 50\;\text{ou}\; n = -54. \]

Como quantidade de termos não pode ser negativa, \(n = 50\).

A soma deve conter 50 termos.