UFAM 2013
Quantos anagramas distintos da palavra PSC2012 é possível formar, de modo que comecem por uma letra e terminem por um número?
\(9x\frac{5!}{2}\)
\(\frac{7!}{2}\)
\(\frac{6!}{2}\)
\(\frac{7!}{4}\)
6!
Resolução
Para formar anagramas da palavra PSC2012 (7 caracteres), exigimos:
- o 1º símbolo deve ser letra (P, S ou C);
- o 7º símbolo deve ser dígito (0, 1, 2 ou 2).
1. Caracteres disponíveis
Multiconjunto inicial:
P, S, C, 0, 1, 2, 2 → 3 letras e 4 algarismos (o dígito 2 aparece duas vezes).
2. Escolha do 1º e do 7º símbolo
A contagem depende de qual algarismo fica na última posição, pois há repetição do 2.
Caso A: último dígito = 0 ou 1
• 1 escolha para o último dígito.
• Restam 5 símbolos: 2 letras + (1, ou 0) + 2, 2 → repetição de dois 2.
• Permutações: \(\dfrac{5!}{2!}=60\).
Caso B: último dígito = 2
• Há apenas um dígito distinto 2; escolher “um 2” não gera novas distinções.
• Restam 5 símbolos: 2 letras + 0 + 1 + 2 (todos diferentes).
• Permutações: \(5!=120\).
3. Combinação com a primeira letra
A escolha da primeira letra é independente, com 3 possibilidades (P, S, C).
Assim, o total é:
\[3\times\bigl(60+60+120\bigr)=3\times240=720.\]
4. Resultado
\(720 = 6!\). Portanto,
Resposta: 6! (alternativa E).
Dicas
Erros Comuns
- Anagrama: qualquer permutação das letras/dígitos de uma palavra dada.
- Permutação com repetição: se um símbolo aparece \(k\) vezes, divide-se por \(k!\) para eliminar repetições idênticas.
- Princípio multiplicativo: quando escolhas independentes são feitas em etapas, multiplica-se o número de possibilidades de cada etapa.
- Contagem por casos: separa-se a contagem em cenários mutuamente exclusivos (aqui, qual dígito vai na última posição).
