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UNIOESTE 2012
Quantas palavras podemos formar, independente se tenham sentido ou não, com as 9 letras da palavra BORBOLETA?
a
81.440.
b
90.720.
c
362.880.
d
358.140.
e
181.440.
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Resposta
B
Resolução
Para contar quantas “palavras” (anagramas) podem ser formadas com as letras de BORBOLETA, basta calcular o número de permutações das nove letras, levando em conta as repetições.
1. Conte as letras repetidas:
B aparece 2 vezes.
O aparece 2 vezes.
As letras R, L, E, T, A aparecem 1 vez cada.
2. Use a fórmula de permutações com repetição:
\[\text{Total} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots}\]
onde
n = 9 (total de letras),
n₁ = 2 (B),
n₂ = 2 (O).
Assim,
\[\text{Total} = \frac{9!}{2!\,2!} = \frac{362\,880}{4} = 90\,720.\]
Portanto, é possível formar 90 720 anagramas.
Dicas
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Liste quantas vezes cada letra aparece.
Use a fórmula de permutações com repetição.
Cuidado para dividir por 2! duas vezes, pois há dois grupos de letras repetidas.
Erros Comuns
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Esquecer de dividir pelas repetições e usar 9! diretamente.
Dividir apenas por uma das repetições (2!) e não pelas duas.
Cometer erros aritméticos na conta de 9! ou na divisão final.
Revisão
- Permutação simples: número de maneiras de ordenar n itens distintos: \(n!\).
- Permutação com repetição: se alguns itens se repetem, divide-se por \(p!\) para cada grupo de p itens idênticos.
- Anagrama: qualquer reordenação das letras de uma palavra, formando ou não palavra com sentido.
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