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OBMEP 2009
Qual é a soma dos algarismos do número que se obtém ao calcular 2100 ×5103 ?
a
7
b
8
c
10
d
12
e
13
Ver resposta
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Resposta
B
Resolução
Primeiro, observe que
\[2^{100}\times 5^{103}=2^{100}\times 5^{100}\times 5^{3}\]
Como \(2\times5=10\), temos:
\[(2\times5)^{100}=10^{100}\]
Portanto,
\[2^{100}\times 5^{103}=10^{100}\times5^{3}=10^{100}\times125\]
Multiplicar por \(10^{100}\) significa “acrescentar 100 zeros” a 125:
\[125\underbrace{00\ldots0}_{100\text{ zeros}}\]
Os algarismos distintos de zero são apenas 1, 2 e 5. A soma dos algarismos é então
\[1+2+5=8\]
Logo, a alternativa correta é B.
Dicas
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Agrupe 2^{100} com parte de 5^{103} para obter uma potência de 10.
Quantos zeros um 10^{100} acrescenta a um número?
Depois de acrescentar os zeros, quais algarismos restam para somar?
Erros Comuns
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Não perceber que 2^{100}×5^{100}=10^{100} e, consequentemente, não substituir por potência de 10.
Calcular 5^{3} de forma incorreta, por exemplo 5³=124 ou 130.
Somar zeros junto com os algarismos não-nulos.
Revisão
- Potência de 10: \(10^{n}\) é o número 1 seguido de \(n\) zeros.
- Propriedade de potências: \(a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\).
- Fatoração: Transformar expressões como \(2^{100}\times5^{100}\) em \((2\times5)^{100}=10^{100}\).
- Soma dos algarismos: Adicionar apenas os dígitos diferentes de zero após a transformação quando zeros são acrescentados à direita do número.
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