FUVEST 1998
Resolução
Para determinar o esboço correto do gráfico da função \(f(x) = \log_2 (2x)\), vamos analisar suas propriedades e encontrar alguns pontos chave.
- Simplificação da função (opcional, mas útil):
Usando a propriedade do logaritmo do produto, \(\log_b (MN) = \log_b M + \log_b N\), podemos reescrever a função:
\(f(x) = \log_2 (2x) = \log_2 2 + \log_2 x\)
Como \(\log_2 2 = 1\) (pois \(2^1 = 2\)), temos:
\(f(x) = 1 + \log_2 x\)
Isso significa que o gráfico de \(f(x) = \log_2 (2x)\) é o gráfico da função \(g(x) = \log_2 x\) transladado 1 unidade para cima.
- Domínio da função:
O argumento do logaritmo deve ser positivo:
\(2x > 0 \implies x > 0\)
Portanto, o gráfico estará inteiramente à direita do eixo y, e o eixo y (\(x=0\)) é uma assíntota vertical.
- Comportamento da função:
A base do logaritmo é 2, que é maior que 1. Portanto, a função \(f(x) = \log_2 (2x)\) é crescente em todo o seu domínio.
- Cálculo de pontos chave:
- Intercepto x (onde \(f(x) = 0\)):
\(\log_2 (2x) = 0\)
Pela definição de logaritmo, \(2x = 2^0\)
\(2x = 1\)
\(x = 1/2\)
Portanto, o gráfico intercepta o eixo x no ponto \((1/2, 0)\).
- Valor de \(f(x)\) para \(x=1\):
\(f(1) = \log_2 (2 \cdot 1) = \log_2 2 = 1\)
Portanto, o ponto \((1, 1)\) pertence ao gráfico.
- Valor de \(f(x)\) para \(x=2\):
\(f(2) = \log_2 (2 \cdot 2) = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2\)
Portanto, o ponto \((2, 2)\) pertence ao gráfico.
- Intercepto x (onde \(f(x) = 0\)):
- Análise das alternativas:
- Alternativa A: O gráfico intercepta o eixo x em \(x=1\). Incorreto, pois o intercepto x é \(1/2\).
- Alternativa B: O gráfico intercepta o eixo x em \(x=1/2\) (correto). Para \(x=1\), o gráfico mostra \(y=2\). Incorreto, pois \(f(1)=1\).
- Alternativa C: O gráfico intercepta o eixo x em \(x=1\). Este é o gráfico de \(y = \log_2 x\). Incorreto.
- Alternativa D: O gráfico intercepta o eixo x em \(x=1/2\) (correto). Para \(x=1\), o gráfico mostra \(y=1\) (correto). A função é crescente e tem a forma característica de uma função logarítmica com base maior que 1, com assíntota vertical em \(x=0\). Este gráfico corresponde aos pontos calculados e às propriedades da função.
- Alternativa E: O gráfico mostra uma função decrescente. Incorreto, pois a base do logaritmo (2) é maior que 1, o que implica uma função crescente.
Com base na análise, o gráfico da alternativa D é o que representa corretamente a função \(f(x) = \log_2 (2x)\).
Dicas
Erros Comuns
Função Logarítmica: Uma função da forma \(f(x) = \log_b x\), onde \(b > 0\) e \(b \neq 1\) é a base e \(x > 0\) é o argumento (logaritmando).
- Se \(b > 1\), a função é crescente.
- Se \(0 < b < 1\), a função é decrescente.
- O domínio é \((0, \infty)\) e a imagem é \((-\infty, \infty)\).
- O gráfico sempre passa pelo ponto \((1, 0)\) (pois \(\log_b 1 = 0\)) e tem uma assíntota vertical em \(x=0\) (o eixo y).
Propriedades dos Logaritmos:
- Logaritmo do produto: \(\log_b (MN) = \log_b M + \log_b N\)
- Logaritmo do quociente: \(\log_b (M/N) = \log_b M - \log_b N\)
- Logaritmo da potência: \(\log_b (M^k) = k \cdot \log_b M\)
- Definição: \(\log_b M = y \iff b^y = M\)
Transformações de Gráficos:
- \(y = f(x) + c\): Translação vertical do gráfico de \(f(x)\) por \(c\) unidades (para cima se \(c>0\), para baixo se \(c<0\)).
- \(y = f(x-c)\): Translação horizontal do gráfico de \(f(x)\) por \(c\) unidades (para a direita se \(c>0\), para a esquerda se \(c<0\)).
