ENEM 2010 segunda aplicação
Para verificar e analisar o grau de eficiência de um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz, podendo existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são doentes com resultado negativo.
Um rato escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é
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Resolução
Olá! Vamos resolver esta questão de probabilidade passo a passo.
O problema nos dá informações sobre um teste aplicado a 500 ratos para detectar uma doença. Precisamos organizar esses dados para facilitar o cálculo da probabilidade pedida.
1. Extrair os dados do enunciado:
- Total de ratos: 500
- Ratos doentes (D): 100
- Ratos saudáveis (S): Total - Doentes = 500 - 100 = 400
- Ratos saudáveis com resultado positivo (S ∩ +): 20
- Ratos doentes com resultado negativo (D ∩ -): 40
2. Organizar os dados em uma tabela de contingência:
A tabela ajuda a visualizar as quantidades em cada categoria (Doente/Saudável vs. Positivo/Negativo).
| Doente (D) | Saudável (S) | Total | |
|---|---|---|---|
| Positivo (+) | ? | 20 | ? |
| Negativo (-) | 40 | ? | ? |
| Total | 100 | 400 | 500 |
3. Completar a tabela:
- Doentes com resultado positivo (D ∩ +): Total Doentes - Doentes com resultado negativo = 100 - 40 = 60
- Saudáveis com resultado negativo (S ∩ -): Total Saudáveis - Saudáveis com resultado positivo = 400 - 20 = 380
- Total com resultado positivo: (D ∩ +) + (S ∩ +) = 60 + 20 = 80
- Total com resultado negativo: (D ∩ -) + (S ∩ -) = 40 + 380 = 420
Verificação: Total Positivo + Total Negativo = 80 + 420 = 500. Os totais batem.
A tabela completa fica:
| Doente (D) | Saudável (S) | Total | |
|---|---|---|---|
| Positivo (+) | 60 | 20 | 80 |
| Negativo (-) | 40 | 380 | 420 |
| Total | 100 | 400 | 500 |
4. Calcular a probabilidade pedida:
A questão pede a probabilidade de um rato ser saudável, dado que o seu resultado deu negativo. Isso é uma probabilidade condicional: P(Saudável | Negativo) ou P(S | -).
A fórmula da probabilidade condicional é \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \). No nosso caso, A é ser Saudável (S) e B é ter resultado Negativo (-).
Podemos calcular usando as contagens da tabela:
\( P(S | -) = \frac{\text{Número de ratos Saudáveis E com resultado Negativo}}{\text{Número total de ratos com resultado Negativo}} \)
Da tabela:
- Número de ratos Saudáveis E com resultado Negativo (S ∩ -): 380
- Número total de ratos com resultado Negativo (-): 420
Então, a probabilidade é:
\( P(S | -) = \frac{380}{420} \)
5. Simplificar a fração:
\( \frac{380}{420} = \frac{38 \div 2}{42 \div 2} = \frac{19}{21} \)
Portanto, a probabilidade de um rato escolhido ao acaso ser saudável, sabendo que seu resultado foi negativo, é 19/21.
Resposta: Alternativa C
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental entender os conceitos de:
- Probabilidade Básica: A razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis em um espaço amostral equiprovável.
- Probabilidade Condicional: A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que outro evento B já ocorreu. É denotada por \(P(A|B)\) e calculada como \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), onde \(P(B) > 0\). Em termos de contagens, é o número de elementos em \(A \cap B\) dividido pelo número de elementos em B. O evento B restringe o espaço amostral.
- Tabelas de Contingência (ou Tabelas 2x2): Ferramentas úteis para organizar e visualizar dados categóricos cruzados, facilitando o cálculo de probabilidades simples, conjuntas e condicionais.
Neste problema, o evento condicionante é "o resultado do teste deu negativo", o que restringe nosso universo de análise aos 420 ratos com resultado negativo. Dentro desse universo restrito, queremos a probabilidade do evento "o rato ser saudável".
