FGV-RJ Administração, C. Sociais e Direito 2017
Para uma sequência finita (a1, a2, ..., an) de números reais, a soma de Cesaro é definida como \(\frac{S_1+S_2+...+S_n}{n},\) onde Sk = a1 + a2 + ... + ak (1 ≤ k ≤ n).
Se a soma de Cesaro da sequência de 2016 termos (a1, a2, ..., a2016) 6051, então a soma de Cesaro da sequência de 2017 termos (1, a1, a2, ..., a2016) é:
6049
6053
6052
6050
6051
Resolução
Solução passo a passo
1 · Entendendo a definição
A soma de Cesàro de uma sequência finita \((a_1,a_2,\dots ,a_n)\) é
\[C_n\;=\;\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}S_k}{n},\qquad \text{onde }S_k=a_1+\dots+a_k.\]
2 · Dados do enunciado
Para \(n=2016\) tem-se
\[C_{2016}=6051.\]
Logo
\[\sum_{k=1}^{2016}S_k = 2016\cdot 6051 = 12\,198\,816.\]
3 · Nova sequência
Queremos o Cesàro da sequência de 2017 termos
\[(1,a_1,a_2,\dots ,a_{2016}).\]
Seus somatórios parciais são
- \(R_1 = 1\);
- Para \(k\ge 2\): \(R_k = 1 + S_{k-1}\).
4 · Somatório dos \(R_k\)
Portanto
\[\sum_{k=1}^{2017}R_k = R_1 + \sum_{k=2}^{2017}(1+S_{k-1}) = 1 + 2016\cdot1 + \sum_{j=1}^{2016}S_j.\]
\[= 2017 + 12\,198\,816 = 12\,200\,833.\]
5 · Soma de Cesàro procurada
Logo
\[C_{2017}=\frac{12\,200\,833}{2017}=6049.\]
Resposta: 6049 (Alternativa A).
Dicas
Erros Comuns
Revisão dos conceitos chave
- Soma parcial: \(S_k=a_1+\dots+a_k\).
- Soma de Cesàro: média aritmética das somas parciais.
- Manipulação algébrica de somatórios: expressar novas somas parciais em função das antigas ao inserir/retirar termos.
