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PUC-RS Verão 2012
Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm.
a
\(\frac{1}{2}\)
b
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
c
\(\sqrt{3}\)
d
\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
e
1
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Resposta
B
Resolução
Considere um hexágono regular de lado a.
- Num hexágono regular, todos os seus vértices pertencem a uma circunferência de raio R. Para esse polígono vale R = a.
- A apotema (r) é o raio da circunferência inscrita (distância do centro a qualquer lado). Para o hexágono regular: \[r = \frac{\sqrt{3}}{2}\, a.\]
- A distância entre dois lados opostos e paralelos é exatamente o diâmetro da circunferência inscrita, ou seja: \[d_{\text{lados}} = 2r = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} a\right) = \sqrt{3}\, a.\]
- No problema, essa distância vale 1 cm: \[\sqrt{3} \; a = 1.\]
- Isolando a: \[a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\text{cm}.\]
Portanto, o lado do hexágono mede \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) cm.
Dicas
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Lembre que a medida dada é o diâmetro da circunferência inscrita no hexágono.
A apotema de um hexágono regular vale \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) vezes o lado.
Monte a equação \(\sqrt{3}a = 1\) e isole \(a\).
Erros Comuns
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Confundir raio circunscrito com apotema e usar \(R=\sqrt{3}a\).
Pensar que a distância entre vértices opostos é 1 cm, não entre lados.
Arredondar \(\sqrt{3}\) para 1,7 e cometer erros de cálculo.
Revisão
- Hexágono regular: polígono de 6 lados congruentes e 6 ângulos iguais.
- Apotema (r): segmento que une o centro ao ponto médio de qualquer lado; é perpendicular ao lado.
- Para qualquer hexágono regular: \(r = \frac{\sqrt{3}}{2} a\) e o raio da circunferência circunscrita é \(R = a\).
- A distância entre dois lados paralelos opostos equivale a \(2r = \sqrt{3}\,a\).
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