ENEM 2013

O objetivo é escolher a montagem (P ou Q) que resulta na menor velocidade linear da serra de fita, que se move junto com a periferia da polia 3. Vamos analisar as relações de velocidade em cada montagem.

Relações Fundamentais:

1. Polias ligadas por correia (Polia 1 e Polia 2): A velocidade linear da correia é a mesma em todos os pontos. Portanto, a velocidade linear na periferia da polia 1 (\(v_1\)) é igual à velocidade linear na periferia da polia 2 (\(v_2\)).
   \(v_1 = v_2\)
   Usando a relação \(v = \omega r = 2\pi f r\), onde \(\omega\) é a velocidade angular, \(f\) é a frequência e \(r\) é o raio, temos:
   \(\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2\) ou \(f_1 r_1 = f_2 r_2\).
   Isso implica que a velocidade angular (e a frequência) é inversamente proporcional ao raio: \(\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{r_1}{r_2}\).
2. Polias concêntricas (Polia 2 e Polia 3): Giram juntas em torno do mesmo eixo. Portanto, possuem a mesma velocidade angular (\(\omega_2 = \omega_3\)) e a mesma frequência (\(f_2 = f_3\)). A velocidade linear na periferia de cada uma é diferente e proporcional ao seu raio: \(v_2 = \omega_2 r_2\) e \(v_3 = \omega_3 r_3 = \omega_2 r_3\).

Velocidade da Serra (\(v_{serra}\)):

A serra de fita se move com a velocidade linear da periferia da polia 3, ou seja, \(v_{serra} = v_3\).

\(v_{serra} = v_3 = \omega_3 r_3 \)

Como \(\omega_3 = \omega_2\) e \(\omega_2 = \omega_1 \frac{r_1}{r_2}\), podemos escrever:

\(v_{serra} = \left( \omega_1 \frac{r_1}{r_2} \right) r_3 = \omega_1 r_1 \frac{r_3}{r_2} \)

Aqui, \(\omega_1\) é a velocidade angular do motor (constante) e \(r_1\) é o raio da polia do motor (o mesmo em P e Q). Queremos minimizar \(v_{serra}\), o que significa minimizar a razão \(\frac{r_3}{r_2}\).

Análise das Montagens:

Vamos denotar o raio da polia pequena concêntrica como \(r_{pequeno}\) e o da polia grande concêntrica como \(r_{grande}\). Pela imagem, \(r_{grande} > r_{pequeno}\).

• Montagem P: A correia liga a polia 1 (raio \(r_1\)) à polia 2 (raio \(r_{2P} = r_{pequeno}\)). A serra está na polia 3 (raio \(r_{3P} = r_{grande}\)).
  \(v_{serra, P} = \omega_1 r_1 \frac{r_{3P}}{r_{2P}} = \omega_1 r_1 \frac{r_{grande}}{r_{pequeno}}\)
• Montagem Q: A correia liga a polia 1 (raio \(r_1\)) à polia 2 (raio \(r_{2Q} = r_{grande}\)). A serra está na polia 3 (raio \(r_{3Q} = r_{pequeno}\)).
  \(v_{serra, Q} = \omega_1 r_1 \frac{r_{3Q}}{r_{2Q}} = \omega_1 r_1 \frac{r_{pequeno}}{r_{grande}}\)

Comparação:

Queremos a menor velocidade linear. Vamos comparar \(v_{serra, P}\) e \(v_{serra, Q}\).

Como \(r_{grande} > r_{pequeno}\), a fração \(\frac{r_{grande}}{r_{pequeno}} > 1\) e a fração \(\frac{r_{pequeno}}{r_{grande}} < 1\).

Portanto, \(v_{serra, P} = \omega_1 r_1 \times (\text{número > 1})\) e \(v_{serra, Q} = \omega_1 r_1 \times (\text{número < 1})\).

Logo, \(v_{serra, Q} < v_{serra, P}\).

A montagem que fornece a menor velocidade linear para a serra é a montagem Q.

Justificativa:

Na montagem Q, a polia 2 (movida pela correia) tem raio grande (\(r_{grande}\)) e a polia 1 (motora) tem raio pequeno (\(r_1\)). A relação \(\omega_2 = \omega_1 (r_1/r_2)\) mostra que, como \(r_2 = r_{grande}\) é grande, a velocidade angular \(\omega_2\) será pequena. Como as polias 2 e 3 são concêntricas, \(\omega_3 = \omega_2\), então \(\omega_3\) também é pequena. A velocidade da serra é \(v_3 = \omega_3 r_3\). Como \(r_3 = r_{pequeno}\) também é pequeno na montagem Q, a combinação de uma velocidade angular pequena (\(\omega_3\)) com um raio pequeno (\(r_3\)) resulta na menor velocidade linear \(v_3\).

A opção A afirma que a montagem Q deve ser escolhida. A justificativa dada é: "pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em pontos periféricos, e a que tiver maior raio terá menor frequência." A primeira parte ("polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais") é fisicamente incorreta para este sistema. A segunda parte ("a que tiver maior raio terá menor frequência") é um princípio correto para polias conectadas pela mesma correia (onde \(v\) é constante, \(v = 2\pi f r \Rightarrow f \propto 1/r\)). Aplicando isso às polias 1 e 2 na montagem Q: a polia 2 tem raio maior que a polia 1, logo, terá frequência menor (\(f_2 < f_1\)). Como \(f_3 = f_2\), a polia 3 também terá baixa frequência, contribuindo para a baixa velocidade linear da serra. Apesar da incorreção na primeira parte da justificativa, a escolha da montagem Q está correta e a segunda parte da justificativa aponta para o mecanismo de redução de velocidade (relação inversa entre raio e frequência na transmissão por correia), sendo a opção mais plausível entre as alternativas.