ETEC 2015/2
Para se transpor um curso de água ou uma depressão de terreno pode-se construir uma ponte.
Na imagem, vemos uma ponte estaiada, um tipo de ponte suspensa por cabos (estais) fixados em mastros.
O esquema apresenta parte da estrutura de uma ponte estaiada do tipo denominado harpa, pois os estais são paralelos entre si. Cada estai tem uma extremidade fixada no mastro e a outra extremidade no tabuleiro da ponte (onde estão as vias de circulação).
No esquema, considere que:
• as retas \(\frac{\leftrightarrow}{AB}\) e \(\frac{\leftrightarrow}{BC}\) são perpendiculares entre si;
• os segmentos AC e DE são paralelos entre si e representam estais subsequentes;
• AB = 75 m, BC = 100 m e AD = 6 m; e,
• no mastro dessa ponte, a partir do ponto A em sentido ao ponto B, as extremidades dos estais estão fixadas e distribuídas a iguais distâncias entre si.
De acordo com as informações relativas ao esquema, o número máximo de estais que estão fixados do ponto A ao ponto B e que têm a outra extremidade na semirreta \(\vec{BC}\) é
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11
13
15
Resolução
Sejam os pontos representados em um plano cartesiano com origem em B, eixo x apontando para C e eixo y apontando para cima.
- Coordenadas adotadas: B (0,0), C (100,0) e A (0,75).
- O segmento \(\overline{AB}\) (mastro) mede 75 m e está sobre o eixo y.
- O primeiro estai liga A a C; portanto sua inclinação é a mesma de todo o conjunto de estais.
1 – Inclinação comum dos estais
Para o estai AC:
\[ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{75-0}{0-100}=\frac{75}{-100}=-\frac{3}{4}. \]
Assim, qualquer outro estai paralelo a AC segue a equação
\[ y = y_0 -\frac{3}{4}x, \]
onde \((0,y_0)\) é o ponto de fixação no mastro.
2 – Posições dos pontos de fixação no mastro
Sabemos que:
- A partir de A, os pontos estão igualmente espaçados de 6 m (AD = 6 m).
- A distância total AB = 75 m.
Se houver \(n\) estais, existirão \(n\! -\!1\) intervalos de 6 m ao longo de AB:
\[ (n-1)\cdot 6 \le 75. \]
Logo,
\[ n-1 \le \frac{75}{6}=12,5 \quad\Longrightarrow\quad n \le 13. \]
Portanto, o número máximo inteiro de estais é
n = 13.
3 – Validade do último estai
O 13.º estai parte do ponto de coordenada \((0,3)\) (pois \(75-12\cdot6 = 3\)). Substituindo na equação da reta:
\[ 0 = 3 -\frac{3}{4}x \;\;\Longrightarrow\;\; x = 4. \]
Como \(x = 4\,\text{m} > 0\), a outra extremidade encontra-se na semirreta BC, atendendo à condição do enunciado.
Resposta
O número máximo de estais é 13.
Dicas
Erros Comuns
- Segmento dividido em partes iguais: se um segmento de comprimento L é dividido em partes de comprimento d, o número máximo de pontos de divisão (incluindo extremidades) é dado por \(n = \left\lfloor \dfrac{L}{d} \right\rfloor +1\).
- Equação de reta: uma reta que passa por \((x_0,y_0)\) com inclinação (coeficiente angular) \(m\) obedece a \(y - y_0 = m(x - x_0)\).
- Paralelismo: retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.
- Semirreta: conjunto de pontos que começa em uma origem (B) e segue indefinidamente em uma direção (para C), incluindo o ponto de origem.
