FACERES Medicina 2016/2
Para participar de uma prova esportiva, valendo pontos inteiros de 1 até 10, dois atletas participaram de uma pré-seleção e tiveram as seguintes pontuações em 5 provas, sendo que, de acordo com as regras, as duas últimas valeriam o dobro da pontuação das três primeiras.
Atleta A: 4, 6, 8, 8, 4.
Atleta B: 6, 5, 7, 6, 6.
Se tivermos que escolher apenas um dos atletas – o que apresenta a melhor média aritmética – e, se for preciso, considerar o menor desvio padrão, devemos:
Escolher o atleta A por apresentar a melhor média.
Escolher o atleta B por apresentar a melhor média.
Escolher o atleta B por apresentar o menor desvio padrão.
Escolher o atleta A por apresentar o menor desvio padrão.
Não é possível fazer tal análise.
Resolução
Cálculo das médias ponderadas
Como as 2 últimas provas valem o dobro das 3 primeiras, cada atleta terá:
- peso 1 para as 3 primeiras notas
- peso 2 para as 2 últimas notas
Portanto, o denominador da média ponderada é \(1+1+1+2+2 = 7\).
Atleta A
Soma ponderada:
\(4\times1 + 6\times1 + 8\times1 + 8\times2 + 4\times2 = 4+6+8+16+8 = 42\)
Média:
\[\bar x_A = \frac{42}{7}=6\]
Atleta B
Soma ponderada:
\(6\times1 + 5\times1 + 7\times1 + 6\times2 + 6\times2 = 6+5+7+12+12 = 42\)
Média:
\[\bar x_B = \frac{42}{7}=6\]
As médias são iguais (6 pontos).
Critério de desempate: desvio-padrão ponderado
Replicamos cada nota conforme seu peso (total de 7 observações cada).
Conjunto de dados ponderado
- A: 4, 6, 8, 8, 8, 4, 4
- B: 6, 5, 7, 6, 6, 6, 6
Como \(\bar x_A = \bar x_B = 6\), basta comparar as somas dos desvios quadráticos:
Atleta A
\(\sum (x_i-6)^2 = 3\times(4-6)^2 + (6-6)^2 + 3\times(8-6)^2 = 3\times4 + 0 + 3\times4 = 24\)
\[\sigma_A = \sqrt{\frac{24}{7}} \approx 1{,}85\]
Atleta B
\(\sum (x_i-6)^2 = (6-6)^2 + (5-6)^2 + (7-6)^2 + 4\times(6-6)^2 = 0 + 1 + 1 + 0 = 2\)
\[\sigma_B = \sqrt{\frac{2}{7}} \approx 0{,}54\]
Como \(\sigma_B < \sigma_A\), o Atleta B apresenta menor variabilidade e, portanto, é o escolhido.
Resposta: alternativa C
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Média ponderada: \(\bar x = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\), onde \(w_i\) é o peso.
- Desvio-padrão (populacional): \(\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{n}}\); mede a dispersão dos dados em torno da média.
- Critério de decisão: 1º maior média; em caso de empate, menor desvio-padrão.
