ENEM 2015
Para obter a posição de um telefone celular, a polícia baseia-se em informações do tempo de resposta do aparelho em relação às torres de celular da região de onde se originou a ligação. Em uma região, um aparelho está na área de cobertura de cinco torres, conforme o esquema.
Considerando que as torres e o celular são puntiformes e que estão sob o mesmo plano, qual o número mínimo de torres necessárias para se localizar a posição do telefone celular que originou a ligação?
Uma.
Duas.
Três.
Quatro.
Cinco.
Resolução
O problema pede o número mínimo de torres necessárias para localizar a posição exata de um telefone celular em um plano, sabendo que a localização é baseada no tempo de resposta do aparelho para cada torre.
-
Relação Tempo-Distância: O tempo de resposta do sinal entre o celular e uma torre é diretamente proporcional à distância entre eles. Portanto, conhecer o tempo de resposta equivale a conhecer a distância \(d\) do celular a essa torre.
-
Interpretação Geométrica:
-
Uma torre: Se conhecemos a distância \(d_1\) a uma única torre (T1), sabemos apenas que o celular está em algum ponto de uma circunferência de centro T1 e raio \(d_1\). Isso define uma infinidade de posições possíveis.
-
Duas torres: Se conhecemos as distâncias \(d_1\) e \(d_2\) a duas torres (T1 e T2), o celular deve estar na interseção de duas circunferências: C1 (centro T1, raio \(d_1\)) e C2 (centro T2, raio \(d_2\)). Duas circunferências distintas geralmente se interceptam em dois pontos distintos (P1 e P2). Portanto, com duas torres, ainda temos uma ambiguidade entre duas possíveis localizações.
-
Três torres: Se conhecemos as distâncias \(d_1\), \(d_2\) e \(d_3\) a três torres (T1, T2, T3), o celular deve estar na interseção das três circunferências: C1 (centro T1, raio \(d_1\)), C2 (centro T2, raio \(d_2\)) e C3 (centro T3, raio \(d_3\)). A interseção das duas primeiras circunferências (C1 e C2) nos dá dois pontos possíveis (P1 e P2). A terceira circunferência (C3) passará por apenas um desses dois pontos (assumindo que as torres não são colineares e as distâncias são consistentes). Isso permite identificar a localização única do celular.
-
-
Conclusão: Portanto, são necessárias no mínimo três torres para determinar a posição única do celular no plano. Este método é conhecido como trilateração.
A imagem fornecida mostra cinco torres, mas a questão pergunta o número mínimo necessário.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental entender os seguintes conceitos:
- Circunferência: O conjunto de todos os pontos em um plano que estão a uma distância fixa (raio) de um ponto fixo (centro). No problema, conhecer a distância a uma torre define uma circunferência onde o celular pode estar localizado.
- Interseção de Circunferências: Duas circunferências distintas podem se interceptar em no máximo dois pontos. Conhecer a distância a duas torres limita a localização do celular a esses (no máximo) dois pontos.
- Trilateração: É um método geométrico para determinar a localização de um ponto medindo suas distâncias a três outros pontos conhecidos. No plano, a interseção de três circunferências (definidas pelas distâncias às três torres) geralmente resulta em um único ponto, determinando a localização exata.
Associar a solução de problemas de comunicação, transporte, saúde ou outro, com o correspondente desenvolvimento científico e tecnológico.
