ENEM 2024
Para melhorar o fluxo de ônibus em uma avenida que tem dois semáforos, a prefeitura reduzirá o tempo em que cada sinal ficará vermelho, que atualmente é de 15 segundos a cada 60 segundos. Admita que o instante de chegada de um ônibus a cada semáforo é aleatório.
O engenheiro de tráfego da prefeitura calculou a probabilidade de um ônibus encontrar cada um deles vermelho, obtendo \(\frac{15}{60}\). A partir daí, estabeleceu uma mesma redução na quantidade de tempo, em segundos, em que cada sinal ficará vermelho, de maneira que a probabilidade de um ônibus encontrar ambos os sinais vermelhos numa mesma viagem seja igual a \(\frac{4}{100}\), considerando os eventos independentes.
Para isso, a redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, em segundos, estabelecida pelo engenheiro foi de:
1,35.
3,00.
9,00.
12,60.
13,80.
Resolução
Olá! Vamos resolver esta questão passo a passo.
O problema nos informa sobre dois semáforos em uma avenida. Inicialmente, cada semáforo fica vermelho por 15 segundos a cada ciclo de 60 segundos.
1. Probabilidade Inicial: A probabilidade de um ônibus encontrar um semáforo vermelho é a razão entre o tempo que ele fica vermelho e o tempo total do ciclo.
\( P_{\text{inicial}}(\text{vermelho}) = \frac{\text{Tempo vermelho}}{\text{Tempo total do ciclo}} = \frac{15 \text{ s}}{60 \text{ s}} = \frac{1}{4} \)
O enunciado confirma que o engenheiro calculou essa probabilidade como \(\frac{15}{60}\).
2. Mudança Proposta: A prefeitura quer reduzir o tempo em que cada sinal fica vermelho. Vamos chamar essa redução de \( x \) segundos. A redução será a *mesma* para ambos os semáforos.
Novo tempo vermelho = Tempo vermelho inicial - Redução
Novo tempo vermelho = \( 15 - x \) segundos.
3. Nova Probabilidade (um semáforo): A nova probabilidade de encontrar *um* semáforo vermelho, após a redução, será:
\( P_{\text{nova}}(\text{vermelho}) = \frac{\text{Novo tempo vermelho}}{\text{Tempo total do ciclo}} = \frac{15 - x}{60} \)
Note que o tempo total do ciclo (60 segundos) permanece o mesmo.
4. Probabilidade (ambos os semáforos): O problema estabelece que a probabilidade de um ônibus encontrar *ambos* os sinais vermelhos na mesma viagem seja igual a \(\frac{4}{100}\). Os eventos de encontrar cada semáforo vermelho são considerados independentes.
Para eventos independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.
\( P(\text{ambos vermelhos}) = P_{\text{nova}}(\text{semáforo 1 vermelho}) \times P_{\text{nova}}(\text{semáforo 2 vermelho}) \)
Como a redução \( x \) é a mesma e a probabilidade inicial é a mesma, a nova probabilidade é igual para ambos os semáforos:
\( P(\text{ambos vermelhos}) = \left( \frac{15 - x}{60} \right) \times \left( \frac{15 - x}{60} \right) = \left( \frac{15 - x}{60} \right)^2 \)
5. Montando a Equação: Sabemos que a probabilidade desejada para ambos os sinais vermelhos é \(\frac{4}{100}\). Portanto, podemos montar a equação:
\[ \left( \frac{15 - x}{60} \right)^2 = \frac{4}{100} \]
6. Resolvendo a Equação:
Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
\( \sqrt{\left( \frac{15 - x}{60} \right)^2} = \sqrt{\frac{4}{100}} \)
\( \frac{15 - x}{60} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}} \)
\( \frac{15 - x}{60} = \frac{2}{10} \)
Podemos simplificar \(\frac{2}{10}\) para \(\frac{1}{5}\):
\( \frac{15 - x}{60} = \frac{1}{5} \)
Agora, multiplicamos ambos os lados por 60 para isolar \( 15 - x \):
\( 15 - x = 60 \times \frac{1}{5} \)
\( 15 - x = 12 \)
Finalmente, resolvemos para \( x \):
\( x = 15 - 12 \)
\( x = 3 \)
7. Conclusão: A redução do tempo em que o sinal ficará vermelho, representada por \( x \), é de 3 segundos.
Portanto, a resposta correta é a alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é importante revisar os seguintes conceitos de probabilidade:
- Probabilidade de um Evento Simples: A probabilidade de um evento ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis. No contexto de tempo, como nesta questão, pode ser a razão entre a duração de um estado específico (tempo vermelho) e a duração total do ciclo. \( P(E) = \frac{\text{Casos Favoráveis}}{\text{Casos Totais}} \) ou \( P(E) = \frac{\text{Tempo Favorável}}{\text{Tempo Total}} \).
- Eventos Independentes: Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro.
- Probabilidade da Interseção de Eventos Independentes: Se dois eventos A e B são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem (interseção) é o produto de suas probabilidades individuais: \( P(A \text{ e } B) = P(A) \times P(B) \).
- Resolução de Equações: Habilidade em manipular e resolver equações, incluindo aquelas que envolvem potências e raízes quadradas.
