FUVEST 2012
Para ilustrar a dilatação dos corpos, um grupo de estudantes apresenta, em uma feira de ciências, o instrumento esquematizado na figura acima. Nessa montagem, uma barra de alumínio com 30 cm de comprimento está apoiada sobre dois suportes, tendo uma extremidade presa ao ponto inferior do ponteiro indicador e a outra encostada num anteparo fixo. O ponteiro pode girar livremente em torno do ponto O, sendo que o comprimento de sua parte superior é 10 cm e, o da inferior, 2 cm. Se a barra de alumínio, inicialmente à temperatura de 25 oC, for aquecida a 225 oC, o deslocamento da extremidade superior do ponteiro será, aproximadamente, de
NOTE E ADOTE
Coeficiente de dilatação linear do alumínio: 2 x 10-5 oC-1.
1 mm.
3 mm.
6 mm.
12 mm.
30 mm.
Resolução
O ponteiro funciona como uma alavanca angular. Quando a barra de alumínio se dilata, sua extremidade presa ao pé do ponteiro se desloca horizontalmente, fazendo-o girar em torno de O. O efeito é amplificado porque o braço superior do ponteiro (10 cm) é maior que o inferior (2 cm).
1 – Dilatação da barra
Comprimento inicial: \(L_0 = 30\,\text{cm} = 0{,}30\,\text{m}\)
Variação de temperatura: \(\Delta T = 225\,^{\circ}\text{C} - 25\,^{\circ}\text{C} = 200\,^{\circ}\text{C}\)
Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \(\alpha = 2 \times 10^{-5}\;^{\circ}\text{C}^{-1}\)
A extremidade da barra se projeta, portanto, \(\boxed{\Delta L = 1{,}2\,\text{mm}}\).
2 – Relação entre o deslocamento e o giro
O pé do ponteiro (braço inferior) tem comprimento \(r_i = 2\,\text{cm}\). O deslocamento horizontal \(\Delta L\) é praticamente perpendicular a esse braço, logo o ângulo girado é
\[\theta = \frac{\Delta L}{r_i} = \frac{1{,}2\,\text{mm}}{20\,\text{mm}} = 0{,}06\;\text{rad}.\]3 – Deslocamento da extremidade superior
Para o braço superior, \(r_s = 10\,\text{cm} = 100\,\text{mm}\). O deslocamento linear da ponta é
\[\Delta s = r_s\,\theta = 100\,\text{mm}\times 0{,}06 = 6\,\text{mm}.\]Logo, a extremidade superior do ponteiro se desloca aproximadamente 6 mm.
Dicas
Erros Comuns
Dilatação linear: ao variar a temperatura, o comprimento de um sólido muda segundo \(\Delta L = \alpha L_0 \Delta T\).
Alavanca/polias angulares: um corpo rígido rodando em torno de um eixo obedece à relação \(s = r\,\theta\) (distância percorrida na extremidade = raio × ângulo).
Quando dois braços de comprimentos diferentes giram o mesmo ângulo, seus deslocamentos lineares são proporcionais aos comprimentos dos braços.
