ENEM 2014 segunda aplicação

Passo a Passo da Solução:

O problema pede para calcular a quantidade de madeira descartada ao fazer um pião a partir de um cilindro de madeira. Isso equivale a calcular a diferença entre o volume inicial do cilindro e o volume final do pião.

1. Calcular o volume do cilindro inicial:

• A Figura 1 mostra que o cilindro tem diâmetro de 6 cm e altura de 7 cm.
• O raio (r) do cilindro é metade do diâmetro: \( r = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \).
• A altura (h_cilindro) do cilindro é 7 cm.
• A área da base (S) do cilindro é \( S = \pi \cdot r^2 \). Usando a aproximação \( \pi \approx 3 \): \( S = 3 \cdot (3)^2 = 3 \cdot 9 = 27 \text{ cm}^2 \).
• O volume do cilindro (V_cilindro) é \( V_{cilindro} = S \cdot h_{cilindro} \).
• \( V_{cilindro} = 27 \text{ cm}^2 \cdot 7 \text{ cm} = 189 \text{ cm}^3 \).

2. Calcular o volume do pião:

O pião é composto por uma semiesfera na parte de cima e um cone na parte de baixo.

• Dimensões: Para maximizar a altura e minimizar o desperdício, o pião usará o raio do cilindro (r = 3 cm). A altura do cone é dada como 4 cm. A altura da semiesfera é igual ao seu raio, ou seja, 3 cm. A altura total do pião é \( 3 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 7 \text{ cm} \), que corresponde à altura do cilindro.
• Volume da Semiesfera (V_semiesfera): O volume de uma esfera é \( \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \). O volume da semiesfera é metade disso: \( V_{semiesfera} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \).
• Usando \( \pi \approx 3 \) e \( r = 3 \text{ cm} \): \( V_{semiesfera} = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot (3)^3 = 2 \cdot 27 = 54 \text{ cm}^3 \).
• Volume do Cone (V_cone): O volume do cone é \( V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h_{cone} \). A área da base (S) é a mesma do cilindro, \( S = 27 \text{ cm}^2 \). A altura do cone (h_cone) é 4 cm.
• \( V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot 27 \text{ cm}^2 \cdot 4 \text{ cm} = 9 \cdot 4 = 36 \text{ cm}^3 \).
• Volume Total do Pião (V_pião): É a soma dos volumes da semiesfera e do cone: \( V_{pião} = V_{semiesfera} + V_{cone} = 54 \text{ cm}^3 + 36 \text{ cm}^3 = 90 \text{ cm}^3 \).

3. Calcular o volume de madeira descartada:

• O volume descartado (V_descartado) é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do pião.
• \( V_{descartado} = V_{cilindro} - V_{pião} \).
• \( V_{descartado} = 189 \text{ cm}^3 - 90 \text{ cm}^3 = 99 \text{ cm}^3 \).

Conclusão:

A quantidade de madeira descartada é de 99 cm³.