ENEM 2017 libras
Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um porta-canetas de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um tronco de cone, como na figura.
Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encomendará um adesivo na forma planificada dessa superfície.
Que formato terá esse adesivo?
Resolução
A questão pede para identificar a forma do adesivo que recobrirá toda a superfície lateral de um porta-canetas. O porta-canetas é um sólido composto por um cilindro na parte inferior e um tronco de cone na parte superior, como mostrado na figura.
Para encontrar o formato do adesivo, precisamos determinar a planificação da superfície lateral desse sólido composto.
1. Planificação da Superfície Lateral do Cilindro:
A superfície lateral de um cilindro, quando planificada (desenrolada), forma um retângulo. A altura desse retângulo é igual à altura do cilindro, e a largura (base) do retângulo é igual ao comprimento da circunferência da base do cilindro (\( C = 2 \pi r \), onde \( r \) é o raio da base).
2. Planificação da Superfície Lateral do Tronco de Cone:
Um tronco de cone é obtido removendo-se um cone menor do topo de um cone maior. A superfície lateral de um cone, quando planificada, forma um setor circular. Portanto, a superfície lateral de um tronco de cone, quando planificada, forma um setor de coroa circular (ou setor de anel), que se assemelha a um trapézio com as bases curvas (arcos de circunferência concêntricos). A base maior do setor de coroa circular corresponde à circunferência da base maior do tronco de cone, e a base menor corresponde à circunferência da base menor do tronco de cone.
3. Planificação do Sólido Composto:
O adesivo deve cobrir a superfície lateral do cilindro e a superfície lateral do tronco de cone. A planificação total será a combinação das planificações dessas duas superfícies. O cilindro e o tronco de cone se conectam por uma circunferência (a base superior do cilindro é a base inferior do tronco de cone). Na planificação, a largura do retângulo (proveniente do cilindro) deve ser igual ao comprimento do arco maior do setor de coroa circular (proveniente do tronco de cone). O adesivo será, então, a união dessas duas figuras geométricas: um retângulo e um setor de coroa circular, unidos por um lado de comprimento igual à circunferência da base do cilindro/tronco de cone.
4. Análise das Opções:
- Opção A: Mostra um setor de coroa circular (correto para o tronco de cone) ligado a uma figura com lados curvos, que não representa a planificação lateral de um cilindro.
- Opção B: Mostra um setor de coroa circular (correto para o tronco de cone) ligado pela sua base maior (arco maior) a um lado de um retângulo (correto para o cilindro). Esta é a representação correta da planificação da superfície lateral do sólido composto.
- Opção C: Mostra um trapézio reto (incorreto para o tronco de cone, pois as bases deveriam ser curvas) ligado a um retângulo.
- Opção D: Mostra um trapézio reto ligado a um retângulo, que por sua vez está ligado a um segmento circular. Inclui formas incorretas e possivelmente uma base, que não faz parte da superfície lateral.
- Opção E: Mostra uma figura semelhante a uma lúnula ou crescente (incorreto para o tronco de cone) ligada a uma figura com lados curvos (incorreto para o cilindro).
Portanto, a única opção que representa corretamente a planificação da superfície lateral do porta-canetas é a opção B.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental entender o conceito de planificação de sólidos geométricos, que é a representação bidimensional (2D) da superfície de um objeto tridimensional (3D). Especificamente, é preciso conhecer as planificações das superfícies laterais do cilindro e do tronco de cone.
- Planificação Lateral do Cilindro: Ao "desenrolar" a superfície lateral de um cilindro reto, obtemos um retângulo. A altura do retângulo é a altura do cilindro, e a base do retângulo tem comprimento igual ao perímetro da base circular do cilindro (\(2\pi r\)).
- Planificação Lateral do Tronco de Cone: A superfície lateral de um tronco de cone reto, ao ser planificada, resulta em um setor de coroa circular (uma fatia de um anel). É a região entre dois arcos de circunferências concêntricas e dois segmentos de reta que unem as extremidades dos arcos.
A questão envolve a combinação dessas duas planificações, unidas pela linha que representa a circunferência comum ao cilindro e ao tronco de cone.
Identificar características de figuras planas ou espaciais.
