FMABC 2016
Para confeccionar uma peça, um artesão fez um corte em um bloco de madeira maciça, gerando uma canaleta com a forma de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero, conforme é mostrado na figura abaixo.
Considerando que a densidade da madeira é igual a 0,87 g / cm³, então, se M é a massa da peça confeccionada, em quilogramas, é verdade que
M > 2,0
1,5 < M < 2,0
1,0 < M < 1,5
M < 1,0
Resolução
1. Volume do bloco de madeira antes do corte
O bloco tem as dimensões indicadas na figura:
- Comprimento: \(12\sqrt{3}\,\text{cm}\)
- Altura: \(8\sqrt{3}\,\text{cm}\)
- Largura (profundidade): \(4\,\text{cm}\)
Volume do paralelepípedo:
\[ V_{\text{bloco}}=12\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4 =12\cdot 8\cdot4\,(\sqrt{3})^2=384\cdot3=1152\,\text{cm}^3. \]2. Volume da canaleta retirada
A canaleta tem a forma de um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de lado igual à largura do bloco (\(4\,\text{cm}\)).
Área da base triangular:
\[ A_{\triangle}=\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{4^{2}\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\,\text{cm}^2. \]Como a canaleta percorre todo o comprimento \(12\sqrt{3}\,\text{cm}\), seu volume é
\[ V_{\text{canaleta}}=4\sqrt{3}\cdot12\sqrt{3}=4\cdot12\cdot3=144\,\text{cm}^3. \]3. Volume efetivo da peça
\[ V_{\text{peça}}=V_{\text{bloco}}-V_{\text{canaleta}}=1152-144=1008\,\text{cm}^3. \]4. Massa da peça
Com densidade \(\rho=0{,}87\,\text{g/cm}^3\):
\[ M=\rho\,V_{\text{peça}}=0{,}87\times1008\approx877\,\text{g}=0{,}877\,\text{kg}. \]5. Comparação com as alternativas
Como \(M\approx0{,}88\,\text{kg}<1{,}0\,\text{kg}\), a afirmação verdadeira é
M < 1,0.
Resposta: alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
- Volume do paralelepípedo: produto das três dimensões (\(V=a\,b\,c\)).
- Triângulo equilátero: área \(A=\dfrac{s^{2}\sqrt{3}}{4}\).
- Prisma reto: volume \(V=\text{área da base}\times\text{altura (comprimento).}\)
- Densidade: \(\rho=\dfrac{m}{V}\) ⇒ \(m=\rho\,V\).
- Conversão de unidades: 1 kg = 1000 g.
