ENEM 2009
Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2 , em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s).
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente,
0 e 9.
1 e 4.
1 e 7.
9 e 1.
0 e 1.
Resolução
A questão pede para calcular os dois dígitos verificadores (d1 e d2) de um CPF, cujos nove primeiros dígitos são 123.456.789, seguindo o algoritmo descrito no enunciado.
Cálculo do primeiro dígito verificador (d1):
- Multiplicamos os 9 primeiros dígitos pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2:
- 1 × 10 = 10
- 2 × 9 = 18
- 3 × 8 = 24
- 4 × 7 = 28
- 5 × 6 = 30
- 6 × 5 = 30
- 7 × 4 = 28
- 8 × 3 = 24
- 9 × 2 = 18
- Somamos os resultados: \[ S_1 = 10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18 = 210 \]
- Calculamos o resto (r) da divisão da soma por 11: \[ 210 \div 11 \] Dividindo 210 por 11, obtemos quociente 19 e resto 1. \[ 210 = 11 \times 19 + 1 \] Portanto, o resto \( r = 1 \).
- Determinamos d1 com base no resto r: A regra diz: se r for 0 ou 1, d1 é 0. Caso contrário, d1 = 11 – r. Como \( r = 1 \), então \( d_1 = 0 \).
Cálculo do segundo dígito verificador (d2):
A regra para d2 usa a mesma lógica, mas aplicada aos dígitos a partir do segundo algarismo do CPF original até o nono, e incluindo d1 como último algarismo. A sequência de multiplicadores é a mesma (10, 9, ..., 2). Os dígitos a serem considerados são: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, d1 (que é 0). São 9 dígitos no total.
Nota: O algoritmo padrão do CPF usa pesos de 11 a 2 para o cálculo do segundo dígito, aplicados aos 9 primeiros dígitos mais d1. No entanto, seguindo a descrição literal do enunciado ("multiplicados pela sequência dada [10 a 2] são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último"), temos:
- Multiplicamos os dígitos (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, d1=0) pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2:
- 2 × 10 = 20
- 3 × 9 = 27
- 4 × 8 = 32
- 5 × 7 = 35
- 6 × 6 = 36
- 7 × 5 = 35
- 8 × 4 = 32
- 9 × 3 = 27
- 0 × 2 = 0
- Somamos os resultados: \[ S_2 = 20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0 = 244 \]
- Calculamos o resto (s) da divisão da soma por 11: \[ 244 \div 11 \] Dividindo 244 por 11, obtemos quociente 22 e resto 2. \[ 244 = 11 \times 22 + 2 \] Portanto, o resto \( s = 2 \).
- Determinamos d2 com base no resto s: A regra diz: se s for 0 ou 1, d2 é 0. Caso contrário, d2 = 11 – s. Como \( s = 2 \) (que não é 0 nem 1), então \( d_2 = 11 - 2 = 9 \).
Resultado:
Os dígitos verificadores são \( d_1 = 0 \) e \( d_2 = 9 \).
Portanto, a resposta correta é a alternativa A.
Dicas
Erros Comuns
Algoritmo:
Um algoritmo é uma sequência finita de instruções bem definidas e não ambíguas, que podem ser executadas mecanicamente para realizar uma tarefa específica ou resolver um problema.
Aritmética Modular (Resto da Divisão):
A operação de encontrar o resto de uma divisão inteira é fundamental em aritmética modular. Quando dividimos um inteiro \(a\) (dividendo) por um inteiro positivo \(n\) (divisor), obtemos um quociente inteiro \(q\) e um resto \(r\) tal que \(a = n \times q + r\), onde \(0 \le r < n\). O cálculo do dígito verificador do CPF utiliza o resto da divisão por 11.
Dígitos Verificadores:
Dígitos verificadores são mecanismos usados para detectar erros de digitação ou transmissão em números de identificação (como CPF, CNPJ, códigos de barras). Eles são calculados a partir dos outros dígitos do número usando um algoritmo específico. Se o número (incluindo os dígitos verificadores) não satisfaz a regra do algoritmo, ele provavelmente contém um erro.
Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
